360教育网 两角和与差的正弦、余弦、正切

  两角和与差的正弦、余弦、正切

 

二. 教学目的：

  1、了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程。

  2、能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式，体会化归思想的应用；掌握两角和与差的三角函数公式，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

  3、能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用，掌握二倍角公式（正弦、余弦、正切），能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

  4、能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换，推导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆和应用。

 

三. 教学重点：掌握两角和与差的三角函数公式，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

 

四. 教学难点：角的变换与拆分。以及灵活运用公式解题的能力。

 

五. 知识点归纳：

  1、知识结构

  2、基本公式

2. 1. 两角和、差的正弦、余弦、正切公式

；

；

.

2. 2. 二倍角公式

；

；

.

2. 3. 降幂公式

；

；

.

2. 4. 半角公式

；

；

 

2. 5. 万能公式

；

；

.

2. 6. 积化和差公式

；

；

；

.

2. 7. 和差化积公式

；

；

；

.

2. 8.三倍角公式：

sin3

=

                 cos3

=

2. 9.辅助角公式：

3、公式的灵活运用

3. 1角的拆分

（1）从使用的公式来看有向诱导公式方向转化的；

例已知

，

为第三象限角，求

解：30°－2α=180°－2（75°＋α）。

α－45°=（75°＋α）－120°。

（2）利用和差关系拆分的－－拆分为特殊角；

例1.

中，若

，则

的值是（       ）

A.

                 B.

                         C.

或

               D.

解：π－C=A＋B。

 

  例2. 在

中，

，则

_____________。

解：A=

 

  例3.

_______________。

解：20°=30°－10°

40°=30°＋10°

（3）公式的变形使用

对于两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，在学习时应注意以下几点：

（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；

（2）善于拆角、拼角，如

，

等；

（3）注意倍角的相对性；

（4）要时时注意角的范围；

（5）化简要求；

（6）熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。

 

【典型例题】

例1. 已知

，求cos

。

分析：因为

既可看成是

看做是

的倍角，因而可得到下面的两种解法。

解法一：由已知sin

+sin

=1

①

cos

+cos

=0     ②

①²＋②²得 2+2cos

∴cos

①²－②²得  cos2

+cos2

+2cos（

）=－1

即2cos（

）〔

〕=－1

∴

解法二：由①得

③

由②得

       ④

④÷③得

点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin

、cos

、sin

、cos

，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系。本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。

 

  例2. 已知tanα，tanβ是方程x²－5x+6=0的两个实根，求

。

分析：由韦达定理可得到

进而可以求出

的值，再将所求值的三角函数式用tan

表示便可知其值。

解法一：由韦达定理得tan

所以tan

解法二：由韦达定理得tan

所以tan

点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等。抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如

 

  例3. α是△ABC的内角，若sinα＋cosα=－ ，则tanα的值是（    ）

A. －         B. －         C.         D.        

方程思想：

方法1：=－（＋cosα）（＞0）

1－cos²α=（＋ cosα）²

cosα=－（舍正），sinα= ，tanα=－；

选B

方法2：(sinα＋cosα)² =

 sinαcosα= －

构造方程 x² ＋ x－ = 0

sinα= ，cosα=－

选B

方法3：令tan = t，则 ＋ = － (万能公式)

解得t =3 (舍负)，

tanα= = － ；

选B

函数思想：

方法4：sinα＋cosα= －

＜α＜π，又y = tanα增

－1＜tanα＜0，故选B；

方法5：已知

sinα= －（＋ cosα）

tanα= －（1 ＋ ）

且－1＜cosα＜－

－＜tanα＜0，选B；

数形结合思想：

方法6：构造如图的三角形，对照题设知sinα= ，cosα= － ；

故

，选B

方法7：观察研究 sinα＋cosα= － 知0＜ sinα＜－ cosα＜1，

只能选B。

 

  例4. 化简下列各式

（1）

，

（2）

    分析：（1）若注意到化简式是开平方根和（2

）以及其范围，不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角

，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点。

解：（1）因为

又因

，

所以，原式=

（2）原式=

           

            =

。

点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2

是

的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意

三个角的内在联系的作用，

是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。

（3）熟记常用的公式变形

，

。

 

  例5. 若

分析：注意

的变换，就有以下的两种解法。

解法一：由

解法二：

点评：此题若将

的左边展开成

再求cosx，sinx的值，就很繁琐，把

，并注意角的变换2·

运用二倍角公式，问题就化难为易，化繁为简。所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，如

，

，

，

，

等。

 

  例6. 试求cos²73°+cos²47°+cos73°cos47°的值。

分析：由于本题非常对称，且两角之和为120°，所以可以构造对偶式，又因其形式与余弦定理相似，所以构造三角形利用正余弦定理求值。

解法一：设x=cos²73°+cos²47°+cos73°cos47°

y=sin²73°+sin²47°+sin73°sin47°

则x+y=2+cos26°             ①；

x－y=cos146°+cos94°+cos120°=2cos120°cos26°

   ②

于是①＋②，得2x=

故cos²73°+cos²47°+cos73°cos47°=

解法二：由于原式=sin²17°+sin²43°－2sin17°sin43°cos120°，

构造三角形ABC，使A=17°，B=43°，C=120°，其外接圆半径为1，

于是由正弦定理，有a=sin17°，b=sin43°，c=sin120°

，

再由余弦定理，得a²+b²-2abcosC=c²，即

sin²17°+sin²43°－2sin17°sin43°cos120°=

故cos²73°+cos²47°+cos73°cos47°=

点评：在三角函数中，同一个角的正弦与余弦、正切与余切分别互为对偶式，它们之间存在着某些特定的关系，利用这种对偶式，可以巧妙地求出某些三角函数的值。同时，仔细观察和类比能力是高考必考查的能力之一，通过仔细观察寻找到解题的突破口，通过类比，知识与能力得以提升。

 

  例7. 是否存在锐角

，同时成立？若存在，求出

分析：欲求角

，则应先求出其三角函数值，由题意条件可知，应求

的正切值。

解法一：

当tanβ=1时，又因为β为锐角，所以

，并代入（1）得

；

所以

满足条件。

解法二：

点评：三角函数条件式本身就是方程的形式，在进行三角变换时要重视方程的思想方法并会灵活运用。一般地，若知道

是某二次方程的两根，这往往与公式

有必然的联系；若已知

及

二次方程的两根，

有联系，在解题时可充分利用这些联系，列方程求解未知数，另外，解方程组的消元法也是常用的三角变换，当已知条件中有某角时，而所求中没有该角时，常常可以用消元法求解，当求解两个角或其函数值时，可以消去一角，先求出另一角，其一般方法是代入消元或借助同角三角函数关系式。值得一提的是凡是求某角，基本上是先求出其三角函数值，再求角。

 

  例8. 已知

，

，

，

，

，求证：

=

。

分析：由题意首先将向量

的坐标求出，再由数量积寻找角

的三角函数值。

证明：设

的坐标为（x，y），则

=（

），

所以

，

而

，所以

又因

所以

，

故

=

所以原题得证

 

  例9. 已知

，

，

（1）若

，求

的解集；（2）求

的周期及增区间.

解：（1）

，

.

 

     

或

 或

所求解集为

 

（2）

   

           

的增区间为

         

原函数增区间为

 

点评：求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为 “五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角。“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效。其中蕴含了一个变换思想（找差异，抓联系，促进转化），两种数学思想（转化思想和方程思想），三个追求目标（化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项），四种变换方法（切割化弦法，消元、降次法，辅助元素法）。

 

  例10. 设函数

，

，其中

，将

的最小值记为

。

（I）求

的表达式；

（II）讨论

在区间

内的单调性并求极值。

本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间、极值与最值等问题的综合能力。

解：（I）我们有

      

      

      

由于

，

故当

时，

达到其最小值

即

    （II）我们有

列表如下：

	↑	极大值	↓	极小值	↑

    由此可见，

在区间

和

上单调增加，在区间

上单调减小，极小值为

，极大值为

。

 

【模拟试题】

1. 设

（ ）

A.

                 B.－

                C.－

                D.

或－

  2. 函数y=

的最大值是（ ）

A.

                  B.

                  C. 4                             D.

.

3. 若

，则

的值为（　　）

A.

                    B.

                        C.

                          D.

  4 已知cosθ·tanθ<0，那么角

是（　　）

A 第一或第二象限角                        B 第二或第三象限角

C 第三或第四象限角                        D 第一或第四象限角

  5. 若

，则

　　　　。

  6. 某时钟的秒针端点

到中心点

的距离为

，秒针均匀地绕点

旋转，当时间

时，点

与钟面上标

的点

重合，将

两点的距离

表示成

的函数，则

　　　，其中

。

7. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）。如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为

，那么

的值等于              。

  8. 已知

，且

，则

的值是  ___________。

  9. 求下列各式的值：

（1）tan34°+tan26°+

（2）

。

  10. 已知

，分别求

的值。

  11. 观察sin10°+sin20°+sin30°+…+sin200°=

；sin12°+sin24°+sin36°+…+sin192°=

写出一个与以上两式规律相同的一个等式。

  12. 已知sinθ，sin2x，cosθ成等差数列，sinθ，sinx，cosθ成等比数列，求cos2x的值。

  13. 已知

，

的常数，试问

。

  14. （1）已知：

    （2）已知：

的值。

【试题答案】

  1. C

解：

  2. B

解：

  3. Ｃ                        4. Ｃ                           5.

  6.

                        7.

                                                  8.

  9. 解：（1）

   

    （2）

            

            

  10. 解：

=

   

  11. 解：

12. 解：由已知，

  13. （I）设

则

=

（II）若

  14. （1）证明：

，

，

（2）解：

，∴