考点1   力和运动

 

二. 命题趋势

力和运动是高中物理的重点内容，也是高考命题的热点。总结近年高考的命题趋势，一是考力和运动的综合题，重点考查综合运用知识的能力，如为使物体变为某一运动状态，应选择怎样的施力方案；二是联系实际，以实际问题为背景命题，如以交通、体育、人造卫星、天体物理和日常生活等方面的问题为背景，重点考查获取并处理信息，去粗取精，把实际问题转化成物理问题的能力。

 

三. 知识概要

物体怎么运动，取决于它的初始状态和受力情况。牛顿运动定律揭示了力和运动的关系，关系如下表所示：

力是物体运动状态变化的原因，反过来物体运动状态的改变反映出物体的受力情况。从物体的受力情况去推断物体运动情况；或从物体运动情况去推断物体的受力情况是动力学的两大基本问题。

处理动力学问题的一般思路和步骤是：① 领会问题的情景，在问题给出的信息中，提取有用信息，构建出正确的物理模型；② 合理选择研究对象；③ 分析研究对象的受力情况和运动情况；④ 正确建立坐标系；⑤ 运用牛顿运动定律和运动学的规律列式求解。

在分析具体问题时，要根据具体情况灵活运用隔离法和整体法，要善于捕捉隐含条件，要重视临界状态分析。

（一）共点力作用下物体的平衡

1. 动态平衡：

若物体在共点力作用下状态缓慢变化，其过程可近似认为是平衡过程，其中每一个状态均为平衡状态，这时都可用平衡来处理。

2. 弹力和摩擦力：

平面接触面间产生的弹力，其方向垂直于接触面;曲面接触面间产生的弹力，其方向垂直于过接触点的曲面的切面；绳子产生的弹力的方向沿绳指向绳收缩的方向，且绳中弹力处处相等（轻绳）；杆中产生的弹力不一定沿杆方向，因为杆不仅可以产生沿杆方向的拉、压形变，也可以产生微小的弯曲形变。

分析摩擦力时，先应根据物体的状态分清其性质是静摩擦力还是滑动摩擦力，它们的方向都是与接触面相切，与物体相对运动或相对运动趋势方向相反。滑动摩擦力由F_f = μF_N公式计算，F_N为物体间相互挤压的弹力；静摩擦力等于使物体产生运动趋势的外力，由平衡方程或动力学方程进行计算。

3. 图解法：

图解法可以定性地分析物体受力的变化，适用于三力作用时物体的平衡。此时有一个力（如重力）大小和方向都恒定，另一个力方向不变，第三个力大小和方向都改变，用图解法即可判断两力大小变化的情况。

4. 分析平衡问题的基本方法：

① 合成法或分解法：当物体只受三力作用处于平衡时，此三力必共面共点，将其中的任意两个力合成，合力必定与第三个力大小相等方向相反；或将其中某一个力（一般为已知力）沿另外两个力的反方向进行分解，两分力的大小与另两个力大小相等。

② 正交分解法：当物体受三个或多个力作用平衡时，一般用正交分解法进行计算。

 

（二）牛顿运动定律的应用

1. 牛顿第二定律的理解：

① 瞬时性：牛顿第二定律反映了力的瞬时作用效果的规律，力是产生加速度的原因，故加速度与力同时存在、同时变化、同时消失。

② 矢量性：牛顿第二定律是一个矢量方程，加速度与合外力方向相同，故合外力方向就是加速度方向；反过来也有，加速度方向就是合外力方向。

③ 独立性：也叫做力的独立作用原理，当物体受几个力的作用时，每一个力分别产生的加速度只与此力有关，与其它力无关，这些加速度的矢量和即物体运动的加速度。

2. 求瞬时加速度：

应注意两种不同的物理模型。

① 刚性绳（不可伸长）或接触面：这是一种不发生明显形变就能产生弹力的物体，若剪断或脱离后，其中弹力立即消失或仍接触但可以突变，不需要恢复、改变形变的时间。

② 弹簧或橡皮绳：这些物体的形变量大，形变改变、恢复需要较长时间，故在瞬时问题中，其弹力的大小往往可以看成是不变的。

3. 动力学中两类基本问题：

① 已知受力情况求运动情况   

② 已知物体的运动情况求受力情况

4. 分析复杂问题的基本思路：

① 仔细审题，分析物体的受力及受力的变化情况，确定并划分出物体经历的每个不同的过程；

② 逐一分析各个过程中的受力情况和运动情况，以及总结前一过程和后一过程的状态有何特点；

③ 前一个过程的结束就是后一个过程的开始，两个过程的交接点受力的变化、状态的特点，往往是解题的关键。

 

（三）曲线运动中的动力学问题

1. 类平抛运动：

求解的方法是利用运动的合成和分解法进行分析：在初速度方向加速度为零，以初速度做匀速直线运动；在垂直于初速度方向有一个恒定的加速度，做静止开始的匀加速直线运动，加速度的大小由合外力决定。通常应结合运动的合成和分解的运动学规律进行求解。

2. 圆周运动中的向心力：

向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力向心力是按力的作用效果来命名的，故在分析做圆周运动的物体受力时，切不可在性质力上再添加一个向心力，但对各种情况下向心力的来源应明确。

圆周运动中的动力学方程即将牛顿第二定律应用于圆周运动，由于向心加速度表示不同，有以下各种情况，解题时应根据已知条件进行选择。

F = m= mrω² = m

ω = mr= 4π²mrf²

3. 圆周运动中的临界问题

（1）没有别的物体支持的质点做圆周运动，如细绳系着的物体或沿圆环内壁运动的物体在竖直平面内做圆周运动，在通过轨道最高点时的速度的临界值为υ = 。当υ≥时，物体能通过最高点；当υ＜时，物体还没有到最高点时，就脱离了轨道。

（2）受别的物体约速的质点做圆周运动，如套在圆环上的物体，有轻杆或管约束的物体在竖直平面内做圆周运动，当通过最高点时，物体通过最高点的速度可以为任何值，即υ≥0。当υ＞时，环、杆或管对物体的作用力方向向下；当υ= 时，没有作用力；当0＜υ＜时，作用力方向向上。

 

（四）万有引力定律和天体运动

1. 研究天体运动的基本方法：

研究人造卫星、行星等天体的运动时，我们进行了以下近似：中心天体是不动的，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到中心天体的万有引力作用，这个引力提供环绕天体圆周运动的向心力。

即G = m₂= m₂ω²r = m₂（

）²r

2. 卫星的速度、角速度、加速度、周期和轨道半径的关系

① υ= ，即线速度υ∝

② ω = ，即角速度ω∝

③ T² =

，即周期T∝，或=

，即开普勒第三定律

④ a = ，即向心加速度a∝

3.“双星”和“黑洞”

“双星”是两颗相距较近，它们之间的万有引力对两者运动都有显著影响，而其他天体的作用力影响可以忽略的特殊天体系统。它们之所以没有被强大的引力吸引到一起而保持距离L不变，是因为它们绕着共同“中心”以相同的角速度做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力。

“黑洞”是近代引力理论预言的一种特殊天体，它的质量十分巨大，以致于其脱离速度有可能超过其空中的光速，因此任何物体都不能脱离它的束缚，即光子也不能射出。已知物体从地球上的脱离速度（即第二宇宙速度）是υ= ，故一个质量为M的天体，若它是一个黑体，则其半径R应有：R≤。

 

【典型例题】

[例1] 举重运动是力量和技巧充分结合的体育项目。就“抓举”而言，其技术动作可分为预备、提杠铃、发力、下蹲支撑、起立、放下杠铃等六个步骤，如图所示照片表示了其中的几个状态。现测得轮子在照片中的直径为1.0cm。已知运动员所举杠铃的直径是45cm，质量为150kg，运动员从发力到支撑历时0.8s，试估测该过程中杠铃被举起的高度，估算这个过程中杠铃向上运动的最大速度；若将运动员发力时的作用力简化成恒力，则该恒力有多大？

点拨解疑：题目描述的举重的实际情景，要把它理想化为典型的物理情景。抓举中，举起杠铃是分两个阶段完成的，从发力到支撑是第一阶段，举起一部分高度。该过程中，先对杠铃施加一个力（发力），使杠铃作加速运动，当杠铃有一定速度后，人下蹲、翻腕，实现支撑，在人下蹲、翻腕时，可以认为运动员对杠铃没有提升的作用力，这段时间杠铃是凭借这已经获得的速度在减速上升，最好的动作配合是，杠铃减速上升，人下蹲，当杠铃的速度减为零时，人的相关部位恰好到达杠铃的下方完成支撑的动作。因此从发力到支撑的0.8s内，杠铃先作加速运动（当作匀加速），然后作减速运动到速度为零（视为匀减速），这就是杠铃运动的物理模型。

根据轮子的实际直径0.45m和它在照片中的直径1.0cm，可以推算出照片缩小的比例，在照片上用尺量出从发力到支撑，杠铃上升的距离h′=1.3cm，按此比例可算得实际上升的高度为h=0.59m。

设杠铃在该过程中的最大速度为

，有

，得

减速运动的时间应为

加速运动的位移：

又

            

解得

根据牛顿第二定律，有

      

解得

评注：该题中，将举重的实际情景抽象成物理模型，是解题的关键，这种抽象也是解所有实际问题的关键。这里，首先应细致分析实际过程，有了大致认识后，再做出某些简化，这样就能转化成典型的物理问题。比如该题中，认为发力时运动员提升的力是恒力，认为运动员下蹲、翻腕时，对杠铃无任何作用，认为杠铃速度减为零时，恰好完全支撑，而且认为杠铃的整个运动是直线运动。

 

[例2]（2000年全国卷）如图所示为一空间探测器的示意图，P₁、P₂、P₃、P₄是四个喷气发动机，P₁、P₃的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P₂、P₄的连线与y轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动。开始时，探测器以恒定的速率v₀向x方向平动，要使探测器改为向正x偏负y60°方向以原速率v₀平动，则可（    ）

A. 先开动P₁适当时间，再开动P₄适当时间

B. 先开动P₃适当时间，再开动P₂适当时间

C. 开动P₄适当时间

D. 先开动P₃适当时间，再开动P₄适当时间

点拨解疑：该题实际上是要校正探测器的飞行状态，这在航天活动中，是很常见的工作，因为这也是很有意义的一道题。最后要达到的状态是向正x偏负y60°方向平动，速率仍为v₀。如图所示，这个运动可分解为速率为v₀cos60°的沿正x方向的平动和速率为

v₀sin60°的沿负y方向的平动，与原状态相比，我们应使正x方向的速率减小，负y方向的速率增大。因此应开动P₁以施加一负x方向的反冲力来减小正x方向的速率；然后开动P₄以施加一负y方向的反冲力来产生负y方向的速率。所以选项A正确。

评注：建立坐标系，在两个坐标轴的方向上分别应用牛顿运动定律，是研究动力学问题的常用方法。该题一入手，就在沿坐标轴的两个方向上对两个状态进行比较，很快就使问题变得清晰。因此要熟练掌握这种分析方法。

 

[例3] 如图质量为m的小球用水平弹簧系住，并用倾角为30°的光滑木板AB托住，小球恰好处于静止状态。当木板AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为（    ）

A. 0　　　　　　　　　　　　　　　

B. 大小为g，方向竖直向下

C. 大小为g，方向垂直于木板向下　

D. 大小为g，方向水平向右

点拨解疑：未撤离木板前，小球受到重力G，弹簧拉力F，木板支持力F_N，

如图所示，三力平衡，于是有：F_Ncosθ = mg，F_N = 

当撤离木板的瞬间，G和F保持不变（弹簧的弹力不能突变），木板支持力F_N立即消失小球受G和F的合力大小等于撤之前的F_N（三力平衡），方向与F_N的方向相反，故加速度方向为垂直木板向下，大小为：a === g

 

[例4]（2000年全国卷）2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经

98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬

，已知地球半径R，地球自转周期为T，地球表面重力加速度为g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。

点拨解疑：同步卫星必定在地球的赤道平面上，卫星、地球和其上的嘉峪关的相对位置如图所示，由图可知，如果能求出同步卫星的轨道半径r，那么再利用地球半径R和纬度

就可以求出卫星与嘉峪关的距离L，即可求得信号的传播时间。

对于同步卫星，根据牛顿第二定律，有：

      其中 

又

  即

由以上几式解得：

由余弦定理得

微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间为

评注：选择恰当的角度，将题目描述的情况用示意图表示出来，可以使情景变得更加清晰，有利于分析和思考，要养成这种良好的解题习惯。在解答天体运动的问题时，根据

得到

这一关系是经常使用的。

 

[例5] 阅读下列材料，并结合该材料解题。

开普勒从1609年～1619年发表了著名的开普勒行星三定律：

第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个公共焦点上。

第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。

实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星的运动。如果人造地球卫星沿半径为r的圆形轨道绕地球运动，当开动制动发动机后，卫星速度降低并转移到与地球相切的椭圆轨道上，如图所示。问在这之后卫星经过多长时间着陆。空气阻力不计，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，圆形轨道应为椭圆轨道的一种特殊形式。

点拨解疑：卫星在半径为r的圆轨道运动有：

r

得此时卫星的周期为T₁ = 2π

卫星沿椭圆轨道运动时，其半长轴为a = 

由开普勒第三定律有： =

，得T₂ = π（R+r）

另外，在地球表面时，近似有： = mg，得  GM = R²g。

从开始制动到飞船着陆，经过时间为t，则t = ，得t =

。

 

[例6]（2006年天津卷）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率

和运行周期T。

（1）可见星A所受暗星B的引力

可等效为位于O点处质量为

的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为

、

，试求

（用

、

表示）；

（2）求暗星B的质量

与可见星A的速率

、运行周期T和质量

之间的关系式；

（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量

的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率

，运行周期

，质量

，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

（

）

点拨解疑：

（1）设A、B的圆轨道半径分别为

、

，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为

。由牛顿运动定律，有

   

    

设A、B之间的距离为

，又

，由上述各式得

 ①   

由万有引力定律，有

，将①代入得

   

令

     比较可得

②

（2）由牛顿第二定律，有

③

又可见星A的轨道半径

  ④

由②③④式解得

  ⑤

（3）将

代入⑤式，得

代入数据得

⑥  设

，将其代入⑥式，

得

⑦ 可见，

的值随

的增大而增大，试令

，得

⑧

若使⑦式成立，则

必大于2，即暗星B的质量

必大于2

，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。

 

【模拟试题】

1. 手提一根不计质量的、下端挂有物体的弹簧上端，竖直向上作加速运动。当手突然停止运动后的极短时间内，物体将（    ）

A. 立即处于静止状态            B. 向上作加速运动

C. 向上作匀速运动       D. 向上作减速运动

2.（1991年高考上海卷）如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使他所受力反向，大小不变，即由F变为-F。在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法中正确的是（    ）

A. 物体可能沿曲线Ba运动     B. 物体可能沿直线Bb运动

C. 物体可能沿曲线Bc运动     D. 物体可能沿原曲线由B返回

3. 汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上发生滑动，可以明显的看出滑动的痕迹，即常说的刹车线，由刹车线长短可以得知汽车刹车前的速度大小，因此刹车线的长度是分析交通事故的一个重要依据。若汽车轮胎跟地面的动摩擦因数是0.7，刹车线长14m，则可知汽车在紧急刹车前的速度的大小是        m/s。

4. 空间探测器从某一星球表面竖直升空。已知探测器质量为1500Kg，发动机推动力为恒力。探测器升空后发动机因故障突然关闭，如图所示是探测器从升空到落回星球表面的速度随时间变化的图线，则由图象可判断该探测器在星球表面达到的最大高度H_m为多少m？发动机的推动力F为多少N？

5. 中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=

s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常数G=6.67

10

m

/kg.s

）

6.（1998年全国卷）宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为

L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。

 

 

 

【试题答案】

1. B   2. C   3. 144   4. H_m=480m；F=11250 N

5. 解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

设中子星的密度为

，质量为M，半径为R，自转角速度为

，位于赤道处的小物块质量为m，则有

  

     

 

由以上各式得

，代入数据解得：

。

评注：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。

6. 解析：设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有x

+y

=L

   （1）                                                

由平抛运动的规律得知，当初速度增大到2倍，其水平射程也增大到2x，可得

（2x）

+h

=（

L）

（2）     由以上两式解得h=

  （3）

设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得h=

gt

        （4）

由万有引力定律与牛顿第二定律得

（式中m为小球的质量） （5）

联立以上各式得：

评注：显然，在本题的求解过程中，必须将自己置身于该星球上，其实最简单的办法是把地球当作该星球是很容易身临其境的了。