复习第九章 电磁感应
二. 重点、难点：
电磁感应中的几类典型问题
（一）电磁感应中的动力学问题
电磁感应和力学问题的综合，其联系桥梁是磁场对感应电流的安培力，因为感应电流与导体运动的加速度有相互制约的关系，这类问题中的导体一般不是做匀变速运动，而是经历一个动态变化过程再趋于一个稳定状态，故解这类问题时正确进行动态分析确定最终状态是解题的关键。
1. 受力情况、运动情况的动态分析、思考路线是：导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→…，周而复始地循环，直至最终达到稳定状态，此时加速度为零，而速度v通过加速达到最大值，做匀速直线运动或通过减速达到稳定值做匀速直线运动。
2. 解决此类问题的基本步骤
（1）用法拉第电磁感应定律和楞次定律（包括右手定则）求出感应电动势的大小和方向。
（2）依据全电路欧姆定律，求出回路中的电流强度。
（3）分析导体的受力情况（包含安培力，可利用左手定则确定所受安培力的方向）。
（4）依据牛顿第二定律列出动力学方程或平衡方程，或运动学方程，或能量守恒方程，然后求解。
例1. （2004·上海）水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆（见图甲），金属杆与导轨的电阻忽略不计，匀强磁场竖直向下。用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动，当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v和F的关系如图乙。（取重力加速度g=10m/s2）
（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？
（2）若m=0.5kg，L=0.5m，R=0.5Ω，磁感应强度B为多大？
（3）由v—F图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？
解析：（1）变速运动（或变加速运动、加速度减小的加速运动）
（2）感应电动势：E=BLv
感应电流：
安培力：
由图线可知金属杆受拉力、安培力和阻力的作用，匀速时合力为零。
由图线可知直线的斜率为K=2，得
（3）由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力f，。若金属杆受到的阻力仅为动摩擦力，由截距可求得动摩擦因数μ=0.4。
答案：（1）变速运动 （2）1T （3）动摩擦因数μ=0.4
（二）电磁感应中的电路问题
1. 求解电磁感应中电路问题的关键是清楚内电路和外电路。“切割”磁感线的导体和磁通量变化的线圈都相当于“电源”，该部分导体的电阻，相当于内电阻，而其余部分的电路则是外电路
2. 几个公式：
①感生电动势
动生电动势E=BLv（B、L、v两两垂直）
电源内部电流由负极到正极
②感生电荷量与磁通量变化的时间无关，q为通过电源的总电荷量。
3. 解决此类问题的基本步骤：
①用法拉第电磁感应定律和楞次定律或右手定则确定感应电动势的大小和方向。
②分析内、外电路的结构。
③应用闭合电路的欧姆定律和部分电路欧姆定律及串、并联规律、电功率计算公式等联立求解。
例2. 如图所示，有一磁感应强度为B=0.40T的匀强磁场，其磁感线垂直地穿过半径l=20cm的金属环。OA是一根金属棒，它贴着圆环沿顺时针方向绕O点匀速转动，OA棒的电阻r=0.40Ω，电路上三只电阻，圆环与其他导线的电阻不计。当电阻消耗的电功率为时，OA棒的角速度是多大？
解析：OA金属棒切割磁感线运动产生的感应电动势，把它当作电源，根据题意画出等效电路，如图所示。
由
三个电阻并联，并且三个电阻相等，所以外电路的总电阻为
而总电流为，故电源电动势为
根据法拉第电磁感应定律得
答案：90rad/s
例3. 矩形线圈abcd，长ab=20cm，宽bc=10cm，匝数n=200，线圈回路总电阻R=5Ω。整个线圈平面内均有垂直于线框平面的匀强磁场穿过，若匀强磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图所示，求：
（1）线圈回路中产生的感应电动势和感应电流；
（2）当t=0.3s时，线圈的ab边所受的安培力大小；
（3）在1min内线圈回路产生的焦耳热。
解析：磁感应强度的变化率
感应电动势为
感应电流为
（2）当t=0.3s时，磁感应强度B=0.2T，则安培力为
（3）
答案：（1）2V 0.4A （2）3.2N （3）48J
例4. （2004·河南）图中为在同一竖直面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面）向里。导轨的段是竖直的，距离为l1；段也是竖直的，距离为l2，为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。
解析：设杆向上运动的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少，由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小
回路中的电流
电流沿顺时针方向，两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆的安培力为
（方向向上）
作用于杆的安培力为
（方向向下）
当杆匀速运动时，根据牛顿第二定律有
解以上各式
作用于两杆的重力功率的大小
电阻上的热功率
答案：
（三）电磁感应中的能量转化问题
1. 电磁感应过程实质是不同形式的能量转化的过程，电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力作用。因此要维持安培力存在，必须有“外力”克服安培力做功。此过程中，其他形式的能转化为电能。“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能。当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能。
同理，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，安培力做多少功就有多少电能转化为其他形式的能。
2. 电能求解思路主要有三种：
①利用克服安培力求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；
②利用能量守恒求解：开始的机械能总和与最后的机械能总和之差等于产生的电能；
③利用电路特征来求解：通过电路中所产生的电能来计算。
3. 解电磁感应现象中的能量守恒问题的一般步骤：
①在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源。
②分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化，应特别注意对下面第c条的理解和应用。
a. 有摩擦力做功，必有内能产生；
b. 有重力做功，重力势能必然发生变化；
c. 克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能；
d. 如果是安培力做正功，就是电能转化为其他形式的能。
③列有关能量的关系式。
例5. （2005·天津）图中MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为0.40m，电阻不计，导轨所在平面与磁感应强度B为0.50T的匀强磁场垂直。质量m为kg、电阻为1.0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触。导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻R1，当杆ab达到稳定状态时以速度v匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为0.27W，重力加速度取10m/s2，试求速率v和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2。
解析：由能量守恒，有mgv=P
代入数据解得v=4.5m/s
又E=BLv
设电阻的并联电阻为R外，ab棒的电阻为r，有
P=IE代入数值得：
答案：4.5m/s 6.0Ω
例6. （2006·上海）如图所示，将边长为a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进入磁场。整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转动。求：
（1）线框在下落段匀速进入磁场时的速度v2；
（2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v1；
（3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q。
解析：（1）线框在下落阶段匀速进入磁场瞬间：
①
解得： ②
（2）线框从离开磁场至上升到最高点的过程：
③
线框从最高点回落至进入磁场瞬间：
④
③④联立解得： ⑤
（3）线框在向上通过磁场过程中
⑥
⑦
答案：（1）
（2）
（3）
（四）电磁感应中的图象问题
1. 图象问题
2. 解决此类问题的一般步骤
（1）明确图象的种类，即是B—t图还是图，或者E—t图、I—t图等。
（2）分析电磁感应的具体过程。
（3）结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿定律等规律写出函数方程。
（4）根据函数方程，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
（5）画图象或判断图象。
例7. （2005·全国卷I）如图所示图中两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为l，磁场方向垂直纸面向里，abcd是位于纸面内的梯形线圈，ad与bc间的距离也为l。t=0时刻，bc边与磁场区域边界重合（如图）。现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域。取沿a→b→c→d→a的感应电流为正，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图线可能是（ ）
解析：当线圈进入磁场的过程中，由楞次定律可判断感应电流的方向为a—d—c—b—a，与规定的电流正方向相反，所以电流值为负值，当线圈出磁场的过程中，由楞次定律可判断感应电流的方向为a—b—c—d—a，与规定的电流方向相同，所以电流值为正值，又两种情况下有效切割磁感线的长度均不断增加，则感应电动势逐渐增大，感应电流逐渐增大，所以B选项正确。
答案：B
【模拟试题】
1. 如图所示，矩形线圈长为L、宽为h、电阻为R、质量为m，在空气中竖直向下落一段距离后（空气阻力不计），再进入一宽度为h、磁感应强度为B的匀强磁场中。线圈在进入磁场时的动能为，线圈刚穿过磁场时的动能为，这一过程中产生的热量为Q，线圈克服磁场力做的功为，重力做的功为，线圈重力势能的减少量为，则下列关系不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图所示，CDEF是固定的、水平放置的、足够长的U形金属导轨，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，在导轨上架着一个金属棒ab，在极短时间内给ab棒一个水平向右的冲量，使它获得一个速度开始运动，最后又静止在导轨上。则ab棒在运动过程中，就导轨是光滑和粗糙两种情况相比较（ ）
A. 安培力对ab棒做的功相等
B. 电流通过整个回路所做的功相等
C. 整个回路产生的总热量不同
D. ab棒动量的改变量相同
3. 如图所示，一根足够长的水平滑杆SS'上套有一质量为m的光滑金属圆环。在滑杆的正下方与其平行地放置一足够长的光滑水平的木制轨道，且穿过金属环的圆心O。现使质量为M的条形磁铁以v0的水平速度沿轨道向右运动，则（ ）
A. 磁铁穿过金属环后，二者将先后停下来
B. 圆环可能获得的最大速度为
C. 磁铁与圆环系统损失的动能可能为
D. 磁铁与圆环系统损失的动能可能为
4. 如图所示，电动机用轻绳牵引一根原来静止的长为L=1m、质量m=0.1kg的导体棒AB，导体棒电阻为R=1Ω，导体棒与竖直形金属框架有良好接触，框架处在如图所示方向的磁感应强度B=1T的匀强磁场中，且足够长。当导体棒上升h=4m的高度时恰好获得稳定速度。已知在电动机牵引导体棒时，电路中电压表和电流表示数分别稳定在U=7V和I=1A，电动机自身内阻r=1Ω，不计框架电阻及一切摩擦，g取10m/s2。试求：
（1）导体棒的稳定速度多大？
（2）若棒从静止到速度稳定共用1s时间，则在此过程中棒上产生的焦耳热是多少？
5. 图中为在同一竖直面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面）向里。导轨的段是竖直的，距离为l1；段也是竖直的，距离为l2。为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。
6. 位于竖直平面内的矩形平面导线框abcd，ab长L1=1.0m，bd长L2=0.5m，线框的质量m=0.2kg，电阻R=2Ω，其下方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界PP'和QQ'均与ab平行。两边界间距离为H，且H>L2，磁场的磁感应强度B=1.0T，方向与线框平面垂直。如图所示，令线框的dc边从离磁场区域上边界PP'的距离h=0.7m处自由下落。已知线框的dc边进入磁场以后，在ab边到达边界PP'前，线框的速度已达到这一阶段的最大值。问从线框开始下落到dc边刚刚到达磁场区域下边界QQ'的过程中，磁场作用于线框的安培力做的总功为多少？（g取10m/s2）
7. 如图所示，竖直固定的光滑U形金属导轨MNOP每米长度的电阻为r，MN平行于OP，且相距为L，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨所在平面垂直。有一质量为m、电阻不计的水平金属杆ab可在导轨上自由滑动，滑动过程中与导轨接触良好且保持垂直。将ab从某一位置由静止开始释放后，下滑h高度时速度达最大，在此过程中，电路里产生的热量为Q。以后，设法让杆ab保持这个速度匀速下滑，直到离开导轨为止。求：
（1）金属杆匀速下滑时的速度；
（2）匀速下滑过程中通过金属杆的电流I与时间t的关系。
【试题答案】
1. ABD
2. D
3. BC
4. （1）2m/s （2）1.8J
5. ，
6. －0.8J
7. （1） （2）
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