§7.4轨迹问题

 

一、知识导学　

 

1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

2.点与曲线的关系  若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P₀(x₀,y₀)在曲线C上

f(x₀,y₀)=0；

点P₀(x₀,y₀)不在曲线C上

f(x₀,y₀)≠0两条曲线的交点  若曲线C₁，C₂的方程分别为f₁(x,y)=0,f₂(x,y)=0,则点P₀(x₀,y₀)是C₁，C₂的交点

方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.

3.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆

当e=1时，轨迹为抛物线

当e＞1时，轨迹为双曲线

4.坐标变换

（1）坐标变换  在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.

（2）坐标轴的平移公式  设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则

(1)

        或      (2)

公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.

 

二、疑难知识导析　

 

1.在求曲线轨迹方程的过程中,要注意：

(1)理解题意,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的关系,进行知识的重新组合；

(2)合理进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言,通过审题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式,把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言；

(3)注意挖掘题目中的隐含条件；

(4)注意反馈和检验.

2.求轨迹方程的基本方法有：

(1)直接法：若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系,则将这些关系“翻译”成x,y的关系式,由此得到轨迹方程.一般步骤是：建立坐标系—设点—列式—代换—化简、整理.

(2)定义法：即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线的定义建立方程.

(3)待定系数法：已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再根据动点满足的条件确定待定系数.

(4)相关点法：当动点P(x,y)随着另一动点Q(x₁,y₁)的运动而运动时,而动点Q在某已知曲线上,且Q点的坐标可用P点的坐标来表示,则可代入动点Q的方程中,求得动点P的轨迹方程.

(5)参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y,从而得到动点轨迹的参数方程 ,消去t,便可得动点P的普通方程.

另外,还有交轨法、几何法等.

3.在求轨迹问题时常用的数学思想是：

(1)函数与方程的思想：求平面曲线的轨迹方程,是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、y的方程及函数关系；

(2)数形结合的思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合；

(3)等价转化的思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互转化.

 

三、经典例题导讲　

 

[例1]如图所示，已知P(4，0)是圆x²+y²=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²－|OR|²=36－(x²+y²)

又|AR|=|PR|=

所以有(x－4)²+y²=36－(x²+y²),即x²+y²－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.

设Q(x,y)，R(x₁,y₁)，因为R是PQ的中点，所以x₁=

,

代入方程x²+y²－4x－10=0,得

－10=0

整理得 x²+y²=56,这就是所求的轨迹方程.

技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.

[例2]某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.

建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则

|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5

∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为

=1                  ①

同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为

(x－

)²+

y²=1                      ②

由①、②可解得

，∴r=

故所求圆柱的直径为

cm.

[例3] 直线L：

与圆O：

相交于A、B两点，当k变动时，弦AB的中点M的轨迹方程.

错解：易知直线恒过定点P（5,0），再由

，得：

∴

，整理得：

分析：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时

.

[例4] 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.

解：建立坐标系如图所示，

设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0).

设M(x,y）是轨迹上任意一点.

则由题设，得

=λ,坐标代入，得

=λ,化简得

(1－λ²)x²+(1－λ²)y²+2a(1+λ²)x+(1－λ²)a²=0

(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴).

(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x²+y²+

x+a²=0.点M的轨迹是以

(－

，0)为圆心，

为半径的圆.

[例5]若抛物线y=ax²-1上，总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称，求实数a的取值范围.

分析：若存在A、B关于直线y+x=0对称，A、B必在与直线y+x=0垂直的直线系中某一条与抛物线y=ax²-1相交的直线上，并且A、B的中点M恒在直线y+x=0上.

解：如图所示，设与直线y+x=0垂直的直线系方程为

y=x+b

由

得

ax²-x-(b+1)=0　　 ①

令  △＞0

即 (-1)

-4a[-(b+1)]＞0

整理得  

 4ab+4a+1＞0   　②

在②的条件下，由①可以得到直线y=x+b、抛物线y=ax²-1的交点A、B的中点M的坐标为

（

,

+b）,要使A、B关于直线y+x=0对称，则中点M应该在直线y+x=0上，所以有

+（

+b）=0   ③

即  b=-

代入②解不等式得   a＞

因此，当a＞

时，抛物线y=ax²-1上总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称.

 

四、典型习题导练　

 

1.已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么动点Q的轨迹是(    )

A.圆                                    B.椭圆

C.双曲线的一支                          D.抛物线

2.高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.

3．设直线2x-y-

=0与y轴的交点为P，点P把圆(x+1)²+y² ＝25的直径分为两段，则其长度之比是                

4.已知A、B、C是直线

上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线

于点A，又过B、C作⊙O′异于

的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

5.双曲线

=1的实轴为A₁A₂，点P是双曲线上的一个动点，引A₁Q⊥A₁P，A₂Q⊥A₂P，A₁Q与A₂Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.

6.已知椭圆

=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，∠F₁PF₂的外角平分线为

，点F₂关于

的对称点为Q，F₂Q交

于点R.

(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；

(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+

a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.

2011-09-09  人教网

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