平面解析几何初步
§7.1直线和圆的方程
一、知识导学
1．两点间的距离公式:不论A(
1，
1)，B(
2，
2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=
，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|
2－
1|或|AB|=|
2-
1|.
2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(
1，
1)，B(
2，
2)，P(
，
)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是
.当P点为AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是
.
3．直线的倾斜角和斜率的关系
（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
（2）斜率存在的直线，其斜率
与倾斜角α之间的关系是
=tanα.
4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.
名称
方程
说明
适用条件
斜截式
为直线的斜率
b为直线的纵截距
倾斜角为90°的直线不能用此式
点斜式
(
) 为直线上的已知点，
为直线的斜率
倾斜角为90°的直线不能用此式
两点式
=
(
)，(
)是直线上两个已知点
与两坐标轴平行的直线不能用此式
截距式
+
=1
为直线的横截距
b为直线的纵截距
过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式
一般式
，
，
分别为斜率、横截距和纵截距
A、B不全为零
5．两条直线的夹角。当两直线的斜率
,
都存在且
·
≠ -1时，tanθ=
，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.
6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.
（1）斜率存在且不重合的两条直线
1∶
，
2∶
，有以下结论：
①
1∥
2
=
，且ｂ1＝ｂ2
②
1⊥
2
·
= -1
（2）对于直线
1∶
，
2 ∶
，当
1，
2，
1，
2都不为零时，有以下结论：
①
1∥
2
=
≠
②
1⊥
2
1
2+
1
2 = 0
③
1与
2相交
≠
④
1与
2重合
=
=
7．点到直线的距离公式.
（1）已知一点P（
）及一条直线
：
，则点P到直线
的距离d=
；
（2）两平行直线
1:
，
2:
之间的距离d=
.
8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系
（1）圆的标准方程：
，其中（
，b）是圆心坐标，
是圆的半径；
（2）圆的一般方程：
（
＞0），圆心坐标为（-
，-
），半径为
=
.
二、疑难知识导析
1．直线与圆的位置关系的判定方法.
（1）方法一 直线：
；圆：
.
一元二次方程
（2）方法二 直线:
；圆：
，圆心（
，b）到直线的距离为
d=
2．两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为
1，
2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：
|O1O2|>
1+
2
两圆外离；
|O1O2|=
1+
2
两圆外切；
|
1-
2|<|O1O2|<
1+
2
两圆相交；
| O1O2 |=|
1-
2|
两圆内切；
0<| O1O2|<|
1-
2|
两圆内含.
三、经典例题导讲
［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.
错解：设直线方程为:
,又过P(2,3),∴
,求得a=5
∴直线方程为x+y-5=0.
错因：直线方程的截距式:
的条件是:
≠0且b≠0,本题忽略了
这一情形.
正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:
,
∴直线方程为y=
x
综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=
x .
［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.
错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3
化简3
=x2-2x+1+y2-6y+9 .
当x≥0时得x2-5x+y2-6y+10=0 . ①
当x＜0时得x2+ x+y2-6y+10=0 . ②
错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得
(x-)2+(y-3)2 = ① 和 (x+)2+(y-3)2 = - ②
两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.
正解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-)2+(y-3)2 = ,方程②化为(x+)2+(y-3)2 = - ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x-)2+(y-3)2 = (x≥0)
［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？
错解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，
得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，
∴当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆
错因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：
A=C≠0且＜0.
正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，
得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，
(1) 当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去.
(2) 当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的图形表示圆.
［例4］自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程.
错解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3).
设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1
因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
即
整理得12k2-25k+12＝0
解得k＝
L′的方程为y+3＝
(x+3)
即4x-3y+3＝0 因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3＝0.
错因：漏解
正解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)， 于是L′过A(-3，-3).
设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1
因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
即
整理得12k2-25k+12＝0
解得k＝
或k＝
L′的方程为y+3＝
(x+3);或y+3＝
(x+3)。
即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0
因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.
［例5］求过直线
和圆
的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：
（1） 过原点；（2）有最小面积.
解：设所求圆的方程是：
即：
（1）因为圆过原点，所以
，即
故所求圆的方程为：
.
（2） 将圆系方程化为标准式，有：
当其半径最小时，圆的面积最小，此时
为所求.
故满足条件的圆的方程是
.
点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.
［例6］（06年辽宁理科）已知点A(
)，B(
)（
≠0）是抛物线
上的两个动点，O是坐标原点，向量
满足｜
｜＝｜
｜.设圆C的方程为
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线
的距离的最小值为
时，求
的值.
解：（1）证明 ∵｜
｜＝｜
｜，∴（
）2＝（
）2，
整理得：
＝0 ∴
＋
＝0
设M（
）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则
＝0
即
＋
＝0
整理得：
故线段AB是圆C的直径.
（2）设圆C的圆心为C（
），则
∵
，
∴
又∵
＋
＝0 ，
＝－
∴－
∵
≠0，∴
≠0
∴
＝－4
＝
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线
的距离为ｄ，则
＝
当
＝
时，ｄ有最小值
，由题设得
＝
∴
＝2.
四、典型习题导练
1．直线
截圆
得的劣弧所对的圆心角为 （ ）
A. B. C. D.
2.已知直线x=a(a＞0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3. 如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2＝３，则
的最大值为： .
4.设正方形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0（a<9），C、D点所在直线l的斜率为
.
（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；
（2）如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；
（3）如果ABCD的外接圆半径为2
，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.
5.如图，已知圆C：（x+4）2+y2=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0).
（1）若点D坐标为（0，3），求∠APB的正切值；
（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的正切值的最大值；
（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由.
