椭圆与双曲线的对偶性质之双曲线篇(2)

杨志明

21．若P为双曲线

（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F₁, F ₂是焦点,

,

，则

（或

）.

22．双曲线

（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(

,

当

在右支上时，

,

.

当

在左支上时，

,

.

23．若双曲线

（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为L，则当

1＜e≤

时，可在双曲线上求一点P，使得PF₁是P到对应准线距离d与PF₂的比例中项.

24．P为双曲线

（a＞0,b＞0）上任一点,F₁,F₂为二焦点，A为双曲线内一定点，则

,当且仅当

三点共线且

和

在y轴同侧时，等号成立.

25．双曲线

（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线

：

对称的充要条件是

.

26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

28．P是双曲线

（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是

.

29．设A,B为双曲线

（a＞0,b＞0，

）上两点，其直线AB与双曲线

相交于

,则

.

30．在双曲线

中，定长为2m（m）0）的弦中点轨迹方程为

,其中

,当

时,

.

31．设S为双曲线

（a＞0,b＞o）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线上移动，记|AB|=

，

是AB中点，则当

时，有

,

);当

时，有

.

32．双曲线

（a＞0,b＞0）与直线

有公共点的充要条件是

.

33．双曲线

（a＞0,b＞0）与直线

有公共点的充要条件是

.

34．设双曲线

（a＞0,b＞0）的两个焦点为F₁、F₂,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF₁F₂中，记

,

,

，则有

.

35．经过双曲线

（a＞0,b＞0）的实轴的两端点A₁和A₂的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P₁和P₂，则

.

36．已知双曲线

（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且

.（1）

;（2）|OP|²+|OQ|²的最小值为

;（3）

的最小值是

.

37．MN是经过双曲线

（a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则

.

38．MN是经过双曲线

（a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦

，则

.

39．设双曲线

（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A₁P、A₂Q(A_{1 ,}A₂为两顶点)的交点N在直线

：

上.

40．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.