2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（九）

　　62、（北京文）椭圆

的焦点为

，

，两条准线与

轴的交点分别为

，若

，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

 

　　Ａ．

                 Ｂ．

                     Ｃ．

                  Ｄ．

 

　　【解答】椭圆

的焦点为

，

，两条准线与

轴的交点分别为

，若

，

，

，则

，该椭圆离心率e≥

，取值范围是

，选D。

 

　　63、（北京文）如图，矩形

的两条对角线相交于点

，

边所在直线的方程为

点

在

边所在直线上．

 

　                  　

 

　　（I）求

边所在直线的方程；

 

　　（II）求矩形

外接圆的方程；

 

　　（III）若动圆

过点

，且与矩形

的外接圆外切，求动圆

的圆心的轨迹方程．

 

　　【解答】（I）因为

边所在直线的方程为

，且

与

垂直，所以直线

的斜率为

．

 

　　又因为点

在直线

上，

 

　　所以

边所在直线的方程为

．

 

　　

．

 

　　（II）由

解得点

的坐标为

，

 

　　因为矩形

两条对角线的交点为

．

 

　　所以

为矩形

外接圆的圆心．

 

　　又

．

 

　　从而矩形

外接圆的方程为

．

 

　　（III）因为动圆

过点

，所以

是该圆的半径，又因为动圆

与圆

外切，

 

　　所以

，

 

　　即

．

 

　　故点

的轨迹是以

为焦点，实轴长为

的双曲线的左支．

 

　　因为实半轴长

，半焦距

．

 

　　所以虚半轴长

．

 

　　从而动圆

的圆心的轨迹方程为

．

 

　　64、（安徽理）如图，

和

分别是双曲线

的两个焦点，

和

是以

为圆心，以

为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△

是等边三角形，则双曲线的离心率为

 

　　                 

 

　　（A）

                （B）

            （C）

       （D）

 

　　【解答】如图，

和

分别是双曲线

的两个焦点，

和

是以

为圆心，以

为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△

是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=

c，∴

，双曲线的离心率为

，选D。

 

　　65、（安徽理）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为                  .

 

　                  　

 

　　【解答】如图，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A(1，0)，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn－1Pn－2Pn－1, ∴

，

，

，当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为

.

 

　　整理得

=

。

 

　　66、（安徽理）如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.

 

　                      　

 

　　（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；

 

　　（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.

 

　　【解答】本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．

 

　　解：（Ⅰ）由题意知，

．

 

　　因为

，所以

．

 

　　由于

，故有

．　（1）

 

　　由点

的坐标知，

 

　　直线

的方程为

．

 

　　又因点

在直线

上，故有

，

 

　　将（1）代入上式，得

，

 

　　解得

．

 

　　（Ⅱ）因为

，所以直线

的斜率为

 

　　

．

 

　　所以直线

的斜率为定值．

 

　　67、（安徽文）椭圆

的离心率为

 

　　（A）

           （B）

             （C）

       （D）

 

【解答】椭圆

中，

，∴

，离心率为

，选A。

 

　　68、（安徽文）设F是抛物线G:x2=4y的焦点.

 

　　（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：

 

　　（Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足

,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.

 

　　【解答】本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．

 

　　解：（I）设切点

．由

，知抛物线在

点处的切线斜率为

，故所求切线方程为

．

 

　　即

．

 

　　因为点

在切线上．

 

　　所以

，

，

．

 

　　所求切线方程为

．

 

　　（II）设

，

．

 

　　由题意知，直线

的斜率

存在，由对称性，不妨设

．

 

　　因直线

过焦点

，所以直线

的方程为

．

 

　　点

的坐标满足方程组

 

　　得

，

 

　　由根与系数的关系知

 

　　

．

 

　　因为

，所以

的斜率为

，从而

的方程为

．

 

　　同理可求得

．

 

　　

．

 

　　当

时，等号成立．所以，四边形

面积的最小值为

．