2007年高考数学试题汇编——立体几何（四）

　　31．（福建?理?18题）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。

 

　　（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；

 

　　（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；

 

　　（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；

 

　　　　　　　

 

　　【解答】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．

 

　　解法一：（Ⅰ）取

中点

，连结

．

 

　　　　　　　

 

　　

为正三角形，

．

 

　　

正三棱柱

中，平面

平面

，

 

　　

平面

．

 

　　连结

，在正方形

中，

分别为

 

　　

的中点，

 

　　

，

 

　　

．

 

　　在正方形

中，

，

 

　　

平面

．

 

　　（Ⅱ）设

与

交于点

，在平面

中，作

于

，连结

，由（Ⅰ）得

平面

．

 

　　

，

 

　　

为二面角

的平面角．

 

　　在

中，由等面积法可求得

，

 

　　又

，

 

　　

．

 

　　所以二面角

的大小为

．

 

　　（Ⅲ）

中，

，

．

 

　　在正三棱柱中，

到平面

的距离为

．

 

　　设点

到平面

的距离为

．

 

　　由

得

，

 

　　

．

 

　　

点

到平面

的距离为

．

 

　　解法二：（Ⅰ）取

中点

，连结

．

 

　　

为正三角形，

．

 

　　

在正三棱柱

中，平面

平面

，

 

　　

平面

．

 

　　取

中点

，以

为原点，

，

，

的方向为

轴的正方向建立空间直角坐标系，则

，

，

，

，

，

 

　　　　　　　　　

 

　　

，

，

．

 

　　

，

，

 

　　

，

．

 

　　

平面

．

 

　　（Ⅱ）设平面

的法向量为

．

 

　　

，

．

 

　　

，

，

 

　　

 

　　令

得

为平面

的一个法向量．

 

　　由（Ⅰ）知

平面

，

 

　　

为平面

的法向量．

 

　　

，

．

 

　　

二面角

的大小为

．

 

　　（Ⅲ）由（Ⅱ），

为平面

法向量，

 

　　      

．

 

　　      

点

到平面

的距离

．

 

　　32．（广东?理?19题）如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6

，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACFE的体积。

 

　　（Ⅰ）求V(x)的表达式；

 

　　（Ⅱ）当x为何值时，V(x)取得最大值？

 

　　（Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值；

 

　　　　　　　　　

 

　　【解答】（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，

，

 

　　V(x)=

（

）

 

　　（2）

，所以

时，

，V(x)单调递增；

时

，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值

；

 

　　（3）过F作MF//AC交AD与M,则

，PM=

，

 

　　

，

 

　　在△PFM中，

，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为

；

 

　　33．（湖北?理?18题）如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ

。

 

　　（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD ；

 

　　（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；

 

　　　　　　　　　　　

 

　　【解答】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．

 

　　解法1：（Ⅰ）

，

是等腰三角形，又

是

的中点，

 

　　

，又

底面

．

．于是

平面

．

 

　　又

平面

，

平面

平面

．

 

　　（Ⅱ） 过点

在平面

内作

于

，则由（Ⅰ）知

平面

．连接

，于是

就是直线

与平面

所成的角．

 

　　　　　　　　　　

 

　　在

中，

；

 

　　设

，在

中，

，

．

 

　　

，

 

　　

，

．

 

　　又

，

．

 

　　即直线

与平面

所成角的取值范围为

．

 

　　解法2：（Ⅰ）以

所在的直线分别为

轴、

轴、

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

　　　　　　则

，

 

　　　　　　　　

 

　　于是，

，

，

．

 

　　从而

，即

．

 

　　同理

，

 

　　即

．又

，

平面

．

 

　　又

平面

．

 

　　

平面

平面

．

 

　　（Ⅱ）设直线

与平面

所成的角为

，平面

的一个法向量为

，

 

　　则由

．

 

　　得

 

　　可取

，又

，

 

　　于是

，

 

　　

，

，

．

 

　　又

，

．

 

　　即直线

与平面

所成角的取值范围为

．

 

　　解法3：（Ⅰ）以点

为原点，以

所在的直线分别为

轴、

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

　　　则

，

，

　　　于是

，

，

．

 

　　　　　　　　　　

 

　　从而

，即

．

 

　　同理

，即

．

 

　　又

，

平面

．

 

　　又

平面

，

 

　　

平面

平面

．

 

　　（Ⅱ）设直线

与平面

所成的角为

，平面

的一个法向量为

，

 

　　则由

，得

 

　　可取

，又

，

 

　　于是

，

 

　　

，

，

．

 

　　又

，

，

 

　　即直线

与平面

所成角的取值范围为

．

 

　　解法4：以

所在直线分别为

轴、

轴、

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

　　　则

．设

．

 

　　　　　　　

 

　　（Ⅰ）

，

 

　　

，

 

　　即

．

 

　　

，

 

　　即

．

 

　　又

，

平面

．

 

　　又

平面

，

平面

平面

．

 

　　（Ⅱ）设直线

与平面

所成的角为

，

 

　　设

是平面

的一个非零法向量，

 

　　则

取

，得

．

 

　　可取

，又

，

 

　　于是

，

 

　　

，

关于

递增．

，

．

 

　　即直线

与平面

所成角的取值范围为

．