29、(07上海)已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。
解：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.
（2）设，
，
由得，
要使在区间是增函数只需，
即恒成立，则。
另解（导数法）：，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，
故当时，在区间是增函数。
30、（重庆理）已知函数(x>0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。
解：（I）由题意知，因此，从而．
又对求导得．
由题意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．
即，从而，
解得或．
所以的取值范围为．
31、（浙江理）设，对任意实数，记．
（I）求函数的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．
（I）解：．由，得．
因为当时，，当时，，当时，，
故所求函数的单调递增区间是，；单调递减区间是．
（II）证明：（i）方法一：令，
则，当时，由，得，当时，，
所以在内的最小值是．
故当时，对任意正实数成立．
方法二：
对任意固定的，令，则，
由，得．当时，．当时，，
所以当时，取得最大值．
因此当时，对任意正实数成立．
（ii）方法一：．由（i）得，对任意正实数成立．
即存在正实数，使得对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：当，，时，
，，由（i）得，，
再取，得，所以，
即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
方法二：对任意，，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，
即，①又因为，不等式①成立的充分必要条件是，
所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
32、（天津理）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当时，，，
又，．
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：．
由于，以下分两种情况讨论．
（1） 当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：
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| 0 |
| 0 |
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| 极小值 | 增函数 | 极大值 | 减函数 |
所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（2） 当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：
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| 0 |
| 0 |
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| 增函数 | 极大值 | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
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