正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识
给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为
，则此数可以简记为：
（其中
）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的
次多项式，即
，其中
且
，像这种10的多项式表示的数常常简记为
。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作
，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示：
，其中
且
。
而
仍然为十进制数字，简记为
。
典例分析
例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。
分析与解答
分析：用2作为除数（若化为p进位制就以p作为除数），除2004商1002，余数为0；再用2作为除数，除1002商501余数为0；如此继续下去，起到商为0为止。所得的各次余数按从左到右的顺序排列出来，便得到所化出的二进位制的数。
解：
各次商数
被除数
除数
0
1
3
7
15
31
62
125
250
501
1002
2004
2
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
各次余数
故
，
；
同理，有
，
。
处理与数字有关的问题，通常利用定义建立不定方程来求解。
例2．求满足
的所有三位数
。 （1988年上海市竞赛试题）
解：由于
，则
，从而
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
于是所求的三位数只有512。
例3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。（1979年云南省竞赛题）
解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为
，则
原数
①
颠倒后的新数
②
由②－①得7812＝
即
③
比较③式两端百位、十位、个位数字得
由于原四位数的千位数字
不能为0，所以
，从而
，又显然百位数字
，所以
。所以所求的原四位数为1979。
例4．递增数列1,3，4,9，10,12,13，……是由一些正整数组成，它们或是3的幂，或是若个不同的3的幂之和，求该数列的第100项。（第4届美国数学邀请赛试题）
解：将已知数列写成3的方幂形式：
易发现其项数恰好是自然数列对应形式的二进制表示：
即
由于100＝
所以原数列的第100项为
。
例5．1987可以在b进制中写成三位数
，如果
，试确定所有可能的
和
。 （1987年加拿大数学竞赛试题）
解：易知
，从而
，
即
，
由
知
。由
知
故
；
又因为
有12个正约数，分别为1,2，3,6，9,18,109,218,327,654,981,1962，所以
，从而
。
又由
知
例6．设
是五位数（第一个数码不是零），
是由
取消它的中间一个数码后所成的四位数，试确定一切
使得
是整数。（第3届加拿大数学竞赛试题）
解：设
，其中
且
；
；
而
是整数，可证
，即
即
，这显然是成立的；
又可证
，即
＜
即
，这显然也是正确的。
于是
，即
，又因为
是整数，从而
；
于是
，即
＝
即
，而
但3
102知
为正整数）
从而
，显然
，因而推得
其中
。
例7．若
且
是其各位数字和的倍数，这样的
有多少个？（2004年南昌竞赛试题）
解：（1）若
为个位数字时，显然适合，这种情况共有9种；
（2）若
为100时，也适合；
（3）若
为二位数时，不妨设
，则
，由题意得
即
即
也就是
；
若
显然适合，此种情况共有9种；
若
，则由
，故
若
，则显然可以，此时共有2＋8＝10个；
若（
）
9，则
或
，这样的数共有24,42,48,84共4个；
综上所述，共有9＋1＋9＋10＋4＝33个。
例8．如果一个正整数
在三进制下表示的各数字之和可以被3整除，那么我们称
为“好的”，则前2005个“好的”正整数之和是多少？（2005年中国奥林匹克协作体夏令营试题）
解：首先考虑“好的”非负整数，考察如下两个引理：
引理1.在3个连续非负整数
（
是非负整数）中，有且仅有1个是“好的”。
证明：在这三个非负整数的三进制表示中，0,1，2各在最后一位出现一次，其作各位数字相同，于是三个数各位数字之和是三个连续的正整数，其中有且仅有一个能被3整除（即“好的”），引理1得证。
引理2.在9个连续非负整数
（
是非负整数）中，有且仅有3个是“好的”。把这3个“好的”非负整数化成三进制，0,1，2恰好在这三个三进制数的最后一位各出现一次。
证明：由引理1不难得知在9个连续非负整数
（
是非负整数）中，有且仅有3个是“好的”。
另一方面，在这三个“好的”非负整数的三进制表示中，最高位与倒数第三位完全相同，倒数第二位分别取0,1，2。若它使它们成为“好的”非负整数，则最后一位不相同，引理2得证。
将所有“好的”非负整数按从小到大的顺序排成一列，设第2004个“好的”非负整数为
，根据引理1，
得
，即
。
设前
个“好的”正整数之和为
，由于前2003个“好的”正整数之和等于前2004个“好的”非负整数之和。
因此
；
又因为
和
都是“好的”正整数。因此前2005年“好的”正整数之和是：
。
2007-09-25 人教网高中数学论坛
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