古希腊数学家芝诺提出的四大悖论

 

（1）运动场问题（The dichotomy paradox）中的，又称为两分法悖论。

悖论的内容：因为一运动物体在到达目的地之前，必须先抵达距离目的地之一半的位置。即：若要从A处到达B处，必须先到AB中点C，要到达C，又须先到达AC的中点D。如此继续划分下去，所谓的“一半距离”数值将越来越小。最后“一半距离”几乎可被视为零。

   这就形成了某一物体若要从A移动到B，必须先停留在A的悖论。这样一来，此物体将永远停留在初始位置，或者说物体初始运动所经过的距离近似0，以至这物体的运动几乎不能开始。因此，我们得出了运动不可能开始的结论。《庄子·天下篇》，庄子提出：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”

悖论的解释：此悖论在设立时有意忽略了一个事实，那就是从A到B的“运动”必须是一个时间相关的概念而不仅仅是距离的概念。也就是说如果运动的速度为0的时候这个悖论为真！但是一旦运动起来，必然有一个速度，速度等于经过的距离除以历经的时间。什么时候速度为0呢？一种情况是距离为0，根本没有要动，另一种情况大家一般会忽略掉，就是经历的时间趋近于无限，不论距离多大，只要是一个固定值，那么速度就是0，于是悖论就成立了。

此悖论虽然没有提及时间，但是却故意掩盖了时间这个因素。

这同最小分割无关，因为在数学上，无限分割是成立的。

（2）飞矢不动悖论

悖论内容：一根箭是不可能移动的，因为箭在其飞行过程中的任何瞬间都有固定位置，则可知一枝动的箭是所有不动的集合，所以可导出一根箭是不可能移动的。 中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。

悖论提出过程：芝诺问他的学生 “一支射出的箭是动的还是不动的？”，学生回答“那还用说，当然是动的。”芝诺又问“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？学生回答“有的，老师。”

芝诺又一连串的问道，“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。”“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”
   学生回答“不动的，老师”。芝诺“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”“也是不动的，老师”“所以，射出去的箭是不动的？”

（3）阿喀琉斯悖论

阿喀琉斯悖论[1]是指动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“1>0.999..., 1-0.999...>0”思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的“1=0.999..., 但1-0.999...>0”思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0, 或1-0.999...>0”思想。

  譬如说，阿喀琉斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。追乌龟要涉及到极限问题。而极限是个无限过程，这涉及到潜无限问题，即无限过程无法完成，即1只能无限逼近，不能达到1，乌龟是不能被追上的。为此，潜无限只能假设空间不可以无限分割，这样悖论就不存在了。但实无限认为，无限过程可以完成，即极限可以达到1，乌龟可以被追上，无限过程怎么完成。我们的实数，极限，微积分都建立上实无限上，对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近.

（4）游行队伍悖论

   首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。B、C两个列队开始移动，相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。

芝诺现象

   在一个跟时间有关的系统中，如果牵涉到有限时间内，无限多次的操作，我们会称之芝诺现象或芝诺行为。一个简单的例子是球在地面上反弹到停止的过程。处理这个问题的方法，是直接假设停止的时间点，只考虑反弹，不去考虑无穷多次，以计算无穷多次反弹之后的结果。

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[1] 阿喀琉斯（希腊语：?χιλλε??，拉丁语：Achilles），也常译作阿奇里斯、阿基里斯（阿基里斯腱）等，是古希腊神话和文学中的英雄人物，参与了特洛伊战争，被称为“希腊第一勇士”。