数学及其分支4：数论

数论就是指研究整数性质的一门理论，它是与平面几何同样历史悠久的学科。数论是最原始的两个数学分支，即算术与几何保留下来的问题。传统的几何学已经凋零，所有的问题都得到解决。而传统的算术却积累了越来越多的问题，成为难以穿越的密林。数论过去被认为是纯粹数学的，是专门研究整数的性质。正整数按乘法性质划分，可以分成“素数”、“合数”、“1”。素数是整数的基本元素，素数，又称质数，是指在一个大于1的自然数中，除了1和该整数自身外，无法被其他自然数整除的数；也可定义为只有1和该整数本身两个因数的数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。2是最小的素数，也是唯一一个偶数素数其他素数均为奇数。素数有无穷多个，但不存在最大的素数。

素数在数论中有着很重要的地位。素数产生了很多一般人也能理解而又悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想。很多问题虽然形式上十分初等，但事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。

卡尔·弗里德里希·高斯曾说：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。”

数论早期铺垫有三大内容：（1）2000年前，欧几里德证明素数无穷多个。（2）寻找素数的埃拉托斯特尼筛法；欧几里德求最大公约数的辗转相除法。（3）公元420至589年（中国南北朝时期）的孙子定理。这些工作成为现代数论的基本框架。

所以，数论的本质是对素数性质的研究。欧几里德证明了有无穷个素数。既然有无穷多个，就一定有一个表示所有素数的素数通项公式，或者叫素数普遍公式。

按照研究方法的难易程度来看，数论大致上可以分为初等数论（古典数论）和高等数论（近代数论）。