弦的自由振动：通解

对一根两端固定的弦的波动方程分离变量并求解本征值问题后，接着就可以求解时间演化方程了。时间演化方程是这样的：

将本征值的表达式代入时间演化方程中：

这个方程的解具有以下形式：

满足偏微分方程和边界条件的特解这样构成：

一般说来，单独一个特解不一定满足初始条件。由于波动方程是线性的和齐次的，因此，可以将所有特解做线性叠加构成通解：

通解必定满足初始条件：

为了确定通解中的叠加系数，需要用到本征函数的一个重要性质：对应于两个不同本征值的本征函数是正交的。所谓两个本征函数正交指的是，如果 m≠n，则有

如果 m=n，则上述积分给出一个不为零的结果：

用

表示上述积分，称之为本征函数的模方。这个结果显示，只要在原来的本征函数前面除以它的模方的开平方，就可以构造一个新的本征函数，使这个新的本征函数的模方等于1。这个性质称为本征函数的归一性。

为了今后理论推导的方便，可以将本征函数的正交归一性统一写成：

利用本征函数的正交归一性可以确定一般解中的叠加系数。具体的求解程序是：在决定某个系数的那个初条件等式的两边同乘以一个具有确定本征值的本征函数并沿整根弦对自变量求定积分：

在进行上述积分的时候，由于积分与求和是独立的，因此可以互换运算次序；等式右边的初条件函数是一个由实际物理环境决定的已知函数，因而积分总是可以做出来的。于是，通解中的一个叠加系数就可以通过以下公式求出：

通解中的另一个叠加系数也可以用相同的方法求得：

由此得到

现在来看特解的物理意义。为了后面推导中书写方便，引入以下两个符号来代表公式中的那些复杂的常数组合：

并且对叠加系数做如下变换：

对应于某个本征值的特解就可以写成

结果发现，这个特解正是两端固定的弦产生的一种可能的驻波。这样，整个问题的解，也就是通解，就是所有这些可能的驻波的线性叠加。

以上我们以一根两端固定的弦的自由振动为例，给出了用分离变量法求解偏微分方程的基本程序。从数学上看，热传导问题、稳态场的问题有类似的偏微分方程、边界条件和初始条件，也可以用分离变量法进行求解。