四个数字的置换群：三阶子群

前面给出了 S₄ 群的七组互逆群元：

{s₁,s₂},{s₇,s₁₇},{s₈,s₁₈},{s₉,s₁₂}

{s₁₀,s₂₃},{s₁₄,s₂₁},{s₁₆,s₁₉}

每一组互逆的群元必定同属于一个子群。将这七组群元的每一个群元取平方：

s₁²=s₂,s₂²=s₁

s₇²=s₂₂,s₁₇²=s₂₂

s₈²=s₁₃,s₁₈²=s₁₃

s₉²=s₁₂,s₁₂²=s₉

s₁₀²=s₂₃,s₂₃²=s₁₀

s₁₄²=s₂₁,s₂₁²=s₁₄

s₁₆²=s₁₁,s₁₉²=s₁₁

立刻可以看出：

s₁s₂=s₁³=s₂s₁=s₂³=e

s₉s₁₂=s₉³=s₁₂s₉=s₁₂³=e

s₁₀s₂₃=s₁₀³=s₂₃s₁₀=s₂₃³=e

s₁₄s₂₁=s₁₄³=s₂₁s₁₄=s₂₁³=e

由此得到四个三阶循环子群：

{e,s₁,s₂},{e,s₉,s₁₂}

{e,s₁₀,s₂₃},{e,s₁₄,s₂₁}

从某个子群，比如说 {e,s₁,s₂} 开始，用任意一对不属于 {e,s₁,s₂} 的互逆的群元 g 和 g⁻¹ 按构造共轭子群的方法实施如下操作：

g{e,s₁,s₂}g⁻¹，g⁻¹{e,s₁,s₂}g

比如说：

s₃{e,s₁,s₂}s₃={e,s₂,s₁}

s₄{e,s₁,s₂}s₄={e,s₂,s₁}

s₇{e,s₁,s₂}s₁₇={e,s₂₁,s₁₄}

s₁₇{e,s₁,s₂}s₇={e,s₁₀,s₂₃}

s₁₀{e,s₁,s₂}s₂₃={e,s₁₄,s₂₁}

s₂₃{e,s₁,s₂}s₁₀={e,s₉,s₁₂}

……

结果发现，四个三阶循环子群相互共轭。

受二阶循环子群划分为两类共轭子群的特点启发，我们猜测，这四个三阶循环子群之所以相互共轭，应该也与各个群元的置换性质有关。仔细观察这几个群元的置换特点：

s₁=(1,2,3),s₂=(1,3,2)

s₉=(2,4,3),s₁₂=(2,3,4)

s₁₀=(1,4,3),s₂₃=(1,3,4)

s₁₄=(1,4,2),s₂₁=(1,2,4)

结果发现，它们都是 3 个数字的循环置换。

由于三阶群只存在循环结构，它的仅有的两个非单位群元必定互逆，因此，由前面的数学推导马上可以判断，不可能再有由其他群元构成的三阶子群。

在讨论二阶子群的时候已经发现，二阶子群的群元都是交换一对或者两对数字。现在我们又发现，三阶子群的群元都是 3 个数字的循环置换。因此，可以进一步猜测，4 个数字的循环置换应该构成四阶子群，并且这些子群应该是共轭的。这个猜测是否正确？拭目以待。