​保守力场中的微振动

如果总机械能比势能的某个极小值只高出一点点，粒子将以这个极小值点为平衡位置作简谐振动。

前面曾经讲过，如果代表总机械能的直线在势能曲线的某个极小点两侧邻近处与势能曲线各有一个交点，粒子就会在这个势能的极小点附近循环往复地做周期运动。在这种情况下，如果代表总机械能的直线比势能曲线的某个极小点 (比如说 点) 只高出一点点，那么，可以将势能函数在该极小点附近的一段曲线在该极小点的邻域展开成泰勒级数：

在上述展开式中，已经考虑了 ，并且由于 很小，已经略去了二阶以上的高阶小量。

在考虑运动问题时曾经说过，坐标原点 (参考点) 是可以任意选择的，而在讨论势能的问题时则讲过，势能的零点也是可以任意选择的。因此，不失一般性，将坐标系的纵轴平移到 点，使得在新的坐标系下 ，并选择 点作为势能的零点。于是，势能曲线在 附近的泰勒展开可以改写成：

势能函数的这个近似表达式显示，在势能曲线的极小点附近，势能的形式与弹性势能的形式一样，这意味着粒子所受的力是近似的弹性力。

利用受力与势能之间的关系，将势能的级数展开式对自变量求一阶导数，得到粒子受力的近似表达式：。为了表述方便，已经令 。根据牛顿运动定律，粒子在这个保守力场中运动时的动力学方程为

为了求解粒子位置与时间的函数关系，将方程中速度对时间的导数改写成

代入动力学方程中，稍作整理后，动力学方程变成

求解这个方程并不困难：等式的两边同时求不定积分，将两个不定积分中的任意积分常数合并，稍作整理后就得到

这个结果其实是预料之中的：粒子在保守力场中运动，总机械能守恒，积分常数 正是总机械能。为了书写方便，在不引起争议的情况下，直接用 表示机械能。

如果预先知道总机械能守恒，其实可以省去以上的求解过程，直接写出机械能守恒式。

由机械能守恒式将速度解出

得到关于位置的一阶微分方程。速度表达式的这个形式启发我们，可以通过换元法进一步求解这个方程。令

由此得到

代入速度的表达式中，得到一个新的方程：

这是一类最简单的微分方程，它的解是显而易见的：

由此得到粒子的位置与时间的函数关系：

我们把位置与时间按照这种方式相联系的运动称为简谐振动，它是一个时间的周期函数。根据三角函数的周期特点，经过一个周期 时间后，三角函数中作为自变量的角度增加 ，粒子恢复原先的状态，因此，

由此得到粒子运动的周期

有关简谐振动的问题，在后续的课程中会做更深入的讨论。