​组合多值函数

由若干个多值函数组合而成的更复杂的多值函数，在有限远处将会有若干个有限阶或无限阶的枝点。

我们已经对  次根式函数的枝点做了细致的讨论，结果发现，任意一个  次根式函数在有限远处只有一个枝点。但是，许多函数可能由若干个不同次的根式函数组合而成，从而在有限远处会有若干个不同的枝点，并且，要使函数值恢复原值，自变量绕不同的枝点转圈的数目也可能不一样。

看一个简单的例子。考虑一个这样形式的函数

显然，这个函数由两个二次根式函数组合而成， 和 是两个可能的枝点，为了讨论这两个点的性质，令

要讨论的函数被改写成

设想自变量沿某一条简单的闭合曲线变化一周，我们来看函数值的变化与曲线的关系。假如自变量沿一条仅包含  点的曲线 变化，则无论转多少圈， 都会恢复原值，转一圈时， 改变了 ，在这种情况下，函数值并没有恢复原值：

当 绕着 点转两圈时， 改变了 ，函数值将恢复原值：

由此可知， 点是 的一阶枝点；假如自变量沿一条仅包含  点的曲线 变化，可以做类似的讨论，得到 点也是 的一阶枝点。

除了 和 这两个枝点，还有一个可能的枝点 。为了讨论无穷远点，做变换 ，由此得到 作为 的函数：

从这个函数的形式马上可以看出，它给出的两个枝点与原来的函数形式给出的两个枝点一致， 即 并不是 的枝点。

再看一个稍微复杂一点的例子：

仿照前面的例子可以判断， 是 的二阶枝点，而 则是 的一阶枝点。具体的操作就交给大家去完成吧。在这里，仅对无穷远点做稍微细致点的讨论。

对自变量及两个枝点做如下变换：

 作为 的函数具有如下形式：

结果发现， 也是一个枝点。为了讨论这个枝点的性质，令

函数被改写成如下形式：

当 绕 转圈时，无论转多少圈， 和 都会恢复原值。当 绕过 圈时， 改变了 ，而函数值则按照正比于以下因子的方式变化：

显然，当 时，这个因子等于1，函数值将恢复原值。由此可知， 即 是 的五阶枝点。

以上讨论了由若干个根式函数组合成的更复杂的多值函数，讨论的方法同样可以用来讨论由不同的多值函数组合而成的多值函数。