​有限速率区间的概率

利用麦克斯韦速率分布和误差函数工具可以求出粒子的速率落在某个有限大小的区间内的概率。

我们已经利用麦克斯韦速率分布求出了热力学系统的最概然速率、平均速率和方均根速率。除了这三个特征速率外，还经常需要计算速率取某个有限区间值的概率：

为了计算其中的积分，做与前述同样的变量替换：

上面的积分变形为

对等式右边的积分式做一次分部积分：

到此为止，上式右边的积分已经无法用常规的方法进行计算。不过，可以将这个积分写成如下形式：

引入一个被称为误差函数的概念：

不难明白，误差函数具有如下性质：

第二个性质可以从上一节给出的 直接得到。引入误差函数后，上述概率积分被改写成

对于一般的 值，误差函数中的定积分不能用常规的积分方法算出。

对于一些不能用常规积分方法实施的积分，人们通常的做法是，将被积函数展开成幂级数，然后逐项积分，就可以得出积分的近似表达式。对误差函数，就可以利用这种方法进行积分，求出误差函数的近似表达式：

为了方便使用，通常将误差函数的值制作成误差函数表，供人们快速查阅。在网上也很容易找到有关误差函数表的资料，并且，网上还提供计算误差函数的小程序，只要输入自变量的数值，就能够显示误差函数的对应结果。

利用误差函数工具不难求出自变量取不同值时误差函数的数值，由此就可以得到粒子的速率落在某个有限大小的区间内的概率。比如说，对于速率区间 ，根据前面的变量替换公式，计算误差函数的两个自变量 ，由此得到粒子的速率落在区间 内的概率：

再比如说，如果速率区间是以 为中点，以 为一侧间隔的区间，则必有：

由此可以得到计算误差函数的两个自变量的取值：

于是，一个粒子的速率落在这个速率区间内的概率

这个结果显示，在一团气体中，速率落在这个速率区间内的粒子的数量占总粒子数的 。类似地，可以算出在以 为中心，一侧间隔为 的速率区间内，粒子的数量占总粒子数的 。这个结果就交给大家去验证吧。