学习Curvelet

Curvelet变换是最近图像处理较新的一种多尺度几何变换算法。其发展历程在短短十年间：

1999年，Candès和Donoho在Ridgelet变换的基础上提出了连续曲波（Curvelet）变换——第一代Curvelet变换中的Curvelet99。

2002年，Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet变换中的Curvelet02。

2002年，Candès等人提出了第二代Curvelet变换。

2005年，Candès提出了两种基于第二代Curvelet变换理论的快速离散实现方法：

1）非均匀空间抽样的二维FFT算法（Unequally-Spaced Fast Fourier Transform，USFFT）；

2）Wrap算法（Wrapping-Based Transform）

与小波变换类似，Curvelet变换同样有其对应公式。Curvelet系数可由下式得到，即信号与小波函数内积：

 
这里j表示尺度，l表示方向，k表示位移。变换的推导以及原理是个十分复杂的过程，这需要有相当强的数学功底。

下面是对Curvelet变换的理解：

在时间域：Curvelet变换可以看做是一个椭圆以内积形式依次覆盖整个矩阵（指要变换的矩阵），这个图在很多地方都出现过。就我个人的理解详细解释下。

这里的椭圆就是Curvelet变换的窗口，相当于小波变换的基函数。其长轴与短轴关系为平方关系，其窗口大小视尺度j而定。与二维小波变换最大的优势在于Curvelet变换具有方向性。就是在尺度j下，椭圆做完整个矩阵的内积后（即依次覆盖完整个矩阵），可得到一组系数。然后将椭圆进行旋转适当的角度a再与矩阵做内积得到a角度的Curvelet系数。这样将椭圆进行多次旋转，每旋转一个角度就能得到尺度j一个方向的系数矩阵。在尺度j下做L次旋转，那么尺度j下就产生L个角度的系数矩阵。做完尺度j了接下来做尺度j+1下所有角度，方法同上。

如一幅图像上有一段弧，椭圆长轴沿着弧方向做覆盖内积得到的系数就大。这样就适合做图像边缘检测。

对于Curvelet变换的Matlab程序包curvlab可在网上下载。Curvlab包里有Curvelet的快速离散算法的Matlab程序和C++程序。

将其添加在Matlab里面：File -> set path

Add Folder 添加好curvlab里相关*. M文件的路径。

这时在Matlab里面使用Curvelet的快速变换及反变换函数：

fdct_usfft（）

ifdct_usfft（）

fdct_wrapping（）

ifdct_wrapping（）

在Matlab中Curvelet变换后返回的是一个cell矩阵。这个矩阵装着各个尺度、各个方向的系数值。

C= fdct_usfft（***）；

C{j}表示一个cell矩阵，装着尺度j上所有方向的系数。

C{j}{l}就表示是一个二维矩阵，表示尺度j，方向l上的所有系数，

一般尺度越高，其对应的都是高频系数。