2023届湖北省十七所重点中学高三第一次联考数学试卷

2023届湖北省十七所重点中学高三第一次联考的数学导数压轴题，综合性太强，难度之大可想而知了！

咱不说两问都是与众不同的证明题，就说第一问，明明就应该是送分题，但这道找点题就是那么拽，有很多同学连函数的单调性这个关卡都没有闯过，故此，今天我们就来详细探讨一下这个问题。

就拿这道导数证明题为例看单调性的闯关路径吧。

一般情况下，就是先求导再找零点，分区间后得结论。

先来说说直线l的方程式吧，已知其与y＝㏑²x相切，只给了一个切点，就是不给斜率，那让我怎么用点斜式来写直线l的方程呢？

还好我没放弃，思前想后才敲定，在某一点的导数正是过此点的切线的斜率。所以，我先对函数y＝㏑²x求导，得y'＝2㏑x／x，当x＝x₀时，即有直线l的斜率k＝2㏑x₀／x₀，则有点斜式得直线l的方程：y＝2㏑x₀／x₀（x－x₀）＋㏑²x₀。

根据直线l与函数y＝㏑²x相切（或相交），有㏑²x＝2㏑x₀／x₀（x－x₀）＋㏑²x₀，即㏑²x－2㏑x₀／x₀（x－x₀）－㏑²x₀＝0为交点方程。（显然，x₀是该方程的一个解，根据题意，应还有一个解x₀ˊ，但这个超越方程是不好求解的。）

还是构造一个函数，从单调性入手吧！

令f(x)＝㏑²x－2㏑x₀／x₀（x－x₀）－㏑²x₀，有fˊ(x)＝2㏑x／x－2㏑x₀／x₀，（多了一个尾巴，比较不了导数的正负性，那就继续求导了）。

设g(x)＝2㏑x／x－2㏑x₀／x₀，有gˊ(x)＝2（1－㏑x）／x，（当然，不怕扣分的话，可用二阶导数，对fˊ(x)直接求导，即fˊˊ(x)＝2（1－㏑x）／x）。

若gˊ(x)＝0，则x＝e，即e把x的定义域（x＞0）分为两部分，（0，e）和（e，＋∞），可分类讨论之。

显然，在x∈（0，e）中，gˊ(x)＞0，g(x)单调递增；在x∈（e，＋∞）中，gˊ(x)＜0，g(x)单调递减。

即fˊ(x)在x∈（0，e）中单调递增；在x∈（e，＋∞）中单调递减。

这个先增后减的fˊ(x)的草图怎么画呢？

注意到x₀＞e，fˊ(x₀)＝0，而fˊ(1)＜0，故在（0，e）之间必存在一点x₀ˊ，使fˊ(x₀ˊ)＝0。如下草图所示：

因此，点x₀ˊ与x₀把（0，＋∞）分为（0，x₀ˊ）、（x₀ˊ，x₀）和（x₀，＋∞）三部分，如下所示：

f(x)在（0，x₀ˊ）内递减，在（x₀ˊ，x₀）内递增，在（x₀，＋∞）内递减。

今天就到这里吧，下期再见！