“问题解决”背景下“两级运算应用问题”的教学
——以“烤面包”问题为例
浙江省杭州市绿城育华亲亲学校 / 胡早娣
一、学习起点调查与思考
１.逻辑起点
学习本单元前，学生已经学习了有关“加、减、乘、除”一步计算的应用问题，掌握了基本的数量关系，积累了一定的解决简单应用问题的能力。“混合运算”单元共安排了４个例题，其中例１、例２、例３分别学习了同级、两级和带括号的两步混合运算式题的计算。例４是学习减除，即先求部分数，再求份数的两步计算应用问题。
思考：例４的教学必须停留在两步计算上吗？
２.现实起点
为了了解学生“整数两级运算应用问题”的掌握情况，我们对本校二年级１４０名学生进行了前测，前测情况如下表：
上表说明，和例题相似度较高的两步应用问题的正确率达到９２.８％。但学生也能用三步来解决问题，如“每个面包３元，第一组买了９个，第二组买了６个，第一组比第二组多花多少钱？”用三步列式计算的占８８.９％。学生多维度处理信息的能力较弱，前测中“根据３个信息提出问题”，如果有序思考可以提出4个问题，结果大部分学生能提出2个问题，占６２.３％，提出４个问题的只占４.４％。在复杂情境中分析数量关系和解决问题的能力有待进一步提高，正确率只有６９.６％。
因此，问题解决的关键体现在两方面：一是应用问题本身的结构，二是学生能够透过情节的理解把握数量关系的能力。
思考：如何培养学生提出问题的能力和透过情节把握“数量关系”的能力？
二、教学实践
《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》关于“问题解决”的总目标是这样阐述的：初步学会从数学的角度发现问题和提出问题……获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。
根据“问题解决”的总目标，例４的教学目标指向以下几个能力：发现问题、提出问题能力；借助线段图等媒介分析数量关系的能力；多种方法解决问题的能力，等等。基于这样的思考，我进行了以下教学实践。
１.改编学习材料，让思维发散
我们对教材例题（如图１）进行了改编（如图２）。改编体现在两个方面：
（１）学习材料变“强结构”为“弱结构”。原例题学习材料的呈现，编者已对学习材料进行了结构化的处理，把有关系的信息组合在了一起，学生根据第一个对话框自然而然就想到先求“还要烤多少个？”改编后的例题把一个对话框中的两个信息拆成了两个对话框，３个信息独立存在。寻找有关联的信息，结构化的处理要求学生自己完成。
（２）解题策略变“一维”为“多维”。为什么要把“一共要烤９０个面包”改成“一共要烤７２个面包”？我认为这样的改动能有效促进学生多维度地思考数学问题。“一共要烤９０个面包”中的数据“９０”可能会把学生的思维局限于用两步计算（即先减后除），不可能考虑到三步计算，即先算一共要烤几次，９０÷９＝１０（次），再算已经烤了几次，３６÷９＝４（次），最后算还要烤几次，１０－４＝６（次）。因为学生计算的逻辑起点是表内除法，９０÷９没有学过。把“９０”改成“７２”，克服了学生因计算而造成思维的局限性。
［镜头回放］
阅读理解
师：从图中你获得了什么数学信息？
师：我们把这3个信息分别标上字母Ａ，指代我们一共要烤７２个面包；Ｂ，指代已经烤了４０个面包；Ｃ，指代每次烤８个。
师：根据这些信息，你会提出哪些数学问题？小组讨论一下，比一比哪个组提的问题多。
师：哪个组来汇报一下？（能提出问题的所有可能，体现了小组合作的价值。）
师：你们真棒，可以提出这么多问题，那你们是怎么想的呢？
生：①根据ＡＢ就可以求出“还要烤多少个面包”。②根据ＡＣ就可以求出“一共要烤几次”。③根据ＢＣ就可以求出“已经烤了几次”。④根据ＡＢＣ就可以求出“还要烤几次”。
师：同学们听出来没有？他们组为什么能提出这么多问题，用了什么好办法？
生：他们像数线段一样有序地想，先想两个信息ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ能提出什么问题；再想3个信息ＡＢＣ能提出什么问题。
师：是的，他们能有序地进行思考。你们能把这4个问题分成两类吗？为什么这么分？
生：问题①②③是一类，它们都跟两个信息有关；问题④是一类，它跟３个信息有关。
师：谁来说一下第一类问题怎么列式计算的。
生：（略）
师：真棒！这些是我们以前学过的一步计算应用问题，第４个问题一步能解决吗？
生：不能。
师：今天这节课我们一起来讨论第４个问题。
［字母等符号语言使表达更有序、更简洁，同时让学生积累了分析信息的经验，难能可贵的是跟数线段的方法进行了联接；通过对4个问题进行分类，既复习了旧知，又自然引出新知。］
列式解答
师：这个问题怎么解决呢？请同学们独立思考？看谁想出的办法多？
学生独立思考，教师巡视，选取学生的3种不同的方法展示在黑板上。分析反馈（略）。
［上一环节尽可能多地提出问题，为本环节解决问题作了较好的铺垫，渗透了分析法的思路。解题方法也不局限于两步，思维的多维联接，理清数量关系才是问题解决的关键。分析反馈达成3个目标：理解“中间问题”；比较分步列式和综合算式；让学生知道中间问题有时不止１个。］
２.提供解题支架，让思维可视
小学生的思维处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段，如果只从字面上去分析题意，用语言表述数量关系，学生难以理解，即使学生会做题也并不表示他们对数量关系是清晰的。我借助线段图帮助学生理解数学问题中抽象的数量关系，提高解决问题的能力。线段图是学生理解抽象数量关系非常好的工具，不用书上的色条图而用线段图，主要是考虑色条图本来就是线段图的雏形，线段图的使用在问题解决中更具有普遍性。但对二年级学生来说，直接画图具有一定难度，因此，教师可为学生提供一个半成品的线段图（如图３）。
［镜头回放］
借助线段图，加深阅读理解（出示图３）
师：能把题目中的信息填入相应的空格中吗？
学生独立完成，全班同学基本上都能在相应的括号里填入７２、４０、３２。
师：那“每次烤８个”和“还要烤４次”又在哪儿呢？
学生继续思考，部分学生流露出困难的表情。教师出示其中一位学生的思考（如图４）。
师：你们同意吗？
学生的填法很有意思，“剩下的每次烤８个”填对了，“还要烤４次”填错了。分析错误的原因：一是学生对“剩下３２个，每次烤８个，还要烤４次”这3个量的数量关系不够清晰，三者的关系是“３２里面有４个８”。二是学生对“数”和“数量”这两个概念区分度不高，头脑里更多是“数”的概念，４是８的一半，每份是８，４理所当然是８的一半。通过辨析，学生进行了调整，如图５。
借助线段图，厘清数量关系
师（指着图５）：这个线段图表示什么意思，谁会说？
生：一共要烤７２个面包，已经烤了４０个，还剩３２个，剩下的每次烤８个，还要烤４次。
师：你能根据线段图说说数量关系吗？
生：一共要烤的个数－已经烤的个数＝还要烤的个数；还要烤的个数÷每次烤的个数＝还要烤的次数。
借助线段图，检验反思答案
师：“还要烤４次”，你有什么办法证明这个答案是正确的？可以请线段图来帮忙。
生１：４×８＝３２（个），３２＋４０＝７２（个）
生２：４×８＝３２（个），７２－３２＝４０（个）
生３：７２－４０＝３２（个），３２÷４＝８（个）
师（根据学生回答追问）：怎么想的？
通过检验反思，学生进一步厘清了数量关系。
３.分层设计练习，让思维有序
学生在问题解决的过程中，实质上要完成认识上的两个转化。第一个转化是从纷乱的实际问题中，收集、观察、比较、筛选有用的信息，抽象成数学问题，它是“建模”的起点。第二个转化是根据已抽象出来的数学问题，分析其中的数量关系，探索解决问题的方法并求解、检验，反思问题解决的全过程。
例题的教学，虽然有让学生去发现问题和提出问题，但呈现的信息不多也不少，与问题完全匹配，也就是弱化了第一种转化。因此，练习设计时主要让学生体验第一种转化。另外，例题的表征是图文结合的，在练习中要考虑纯文字表征的应用问题。
师（出示由易到难的３道题）：这里有一星、二星、三星的题目各一题，第１题必做，２、３两题二选一，也可以全做。
学生独立完成后反馈。
第１题是一道仿练题，与例题的区别在于它是一道纯文字表征的应用问题。不仅如此，它在叙述方式上也有所设计，即把“９次烤完”和“已经烤了５次”不相邻，让数量的出现顺序和常规运算进程不一致，需要学生进行调整的分析综合过程。第２题有干扰信息，要根据问题选择有用的信息来解决问题。第３题是培养学生逆向思维的能力，而且是开放的，如果３表示“面包每袋３元”，则求出来的是“买７袋面包还剩多少钱”。如果７表示“花生每包７元”，则求出来的是“买３包花生还剩多少钱”。■
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