地球物理与数学就像是一对恩爱夫妻，年轻时相识相知，年老时不离不弃。如果要想知道为什么是这样一种关系，那就得先从什么是地球物理和什么是数学说起。
地球物理源于物理，是地球科学的一个重要组成部分。根据所研究的目的，地球物理又分为理论地球物理（Theoretical Geophysics）和应用地球物理（AppliedGeophysics）两大分支。理论地球物理还称为一般地球物理（GeneralGeophysics）或固体地球物理（Physics of the Solid Earth），是一门利用物理学的原理和方法研究地球本身物理场（指地球本身天然所具有的重力场、磁场、大地电磁场以及地震波场，等等）的时空分布、地球的内部结构、组成物质以及其物理属性和地球内部的质量与能量传递规律的学科。应用地球物理又分为勘探地球物理和城市地球物理两个分支，是一门利用物理学的原理和方法来探测地下具有经济价值的固体矿产、碳氢能源、水以及城市地下结构和地下人造工程的交叉学科。
无论是理论地球物理还是应用地球物理，都以地球内部为研究对象。由于地球内部一定深度以下对人类来讲是不可的，所以就无法通过观察来直接了解地球内部的物质属性和物理化学过程。况且，地球内部始终处于高温和高压状态，而这种状态到目前为止还很难在地表再现。因此，作为物理学研究的第三个途径——计算就成为了除观测以外进行地球物理研究的主要手段。
既然要计算，那自然就离不开数学。然而数学是什么呢？数学一词来自于希腊语，是Mathematics的中文翻译。按现代的理解，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，属于形式科学的一种。
在人类的历史发展和社会活动中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的工具。之所以这样讲，是因为只有应用了数学，才会使一个学科从定性走向定量，从粗略走向精密。
与地球物理只有两大分支不同，数学有很多分支，即数学史、数理逻辑与数学基础、数论、代数学、代数几何学、几何学、拓扑学、数学分析、非标准分析、函数论、常微分方程、偏微分方程、动力系统、积分方程、泛函分析、计算数学、概率论、数理统计学、应用统计数学、运筹学、组合数学、模糊数学、量子数学、应用数学 (或工业数学)、以及数学其他学科。
纵观地球物理的研究历史与研究现状，除了数学史之外，几乎所有的数学分支都在地球物理中有所表现。换句话说，在地球物理中几乎用到了数学学科的全部分支。因此，地球物理给莘莘学子们留下的一个基本印象就是特别难学，尤其是地球物理场论，号称是史上最难学的课程。
现在回到地球物理中的计算问题。之所以要从计算开始是因为从“计算”一词自然就会想到数学。否则，如果先从地球内部的能量和质量传递开始，则需要花很长的篇幅来介绍如何才能将地球内部的能量和质量传递问题归结成为相应的数学问题。
无论是理论地球物理海还是应用地球物理，都需要解决下列几个方面的计算问题。为简单起见，将这些问题统称为地球物理中的典型计算问题。
1. 地球物理场数值模拟
地球物理场数值模拟的目的是在给定地下地质构造的物理模型的基础之上，通过数值计算的途径了解地球物理场的时空分布。为此目的，必须要首先把地球物理问题化转成为数学物理问题。然后，再利用计算数学（数值分析）中的有关方法处理由数学物理问题引申出来的数学问题。
根据地球物理场论，不同地球物理场对应着不同的偏微分方程和边界条件。因此，解决地球物理场数值模拟问题的一个基本途径就是利用数值方法在一定初始或边界条件下解偏微分方程。由于地球物理问题主要涉及的是地面以下的物质，所以在利用偏微分方程解决地球物理场数值模拟问题时所面临的第一个困难就是要对无限的地下半空间进行有限化处理。显然，所包含的地下空间越大，计算量就越大。为了减少计算量，除了在算法上要进行优化和采用压缩存储以外，还可以将原始的偏微分方程定解问题转化成为积分方程或微分-积分方程的数值求解问题。一般来讲，积分方程的定义域是在异常体所占据的有限空间。因此可以减少计算量。
2. 地球物理场反演
数值模拟一般被称为是正问题，即根据模型求响应。如果地球物理中的有关研究仅限于此，那么地球物理工作者的日子就要好过多了。事实上，地球物理研究的目的恰恰与数值模拟的目的完全相反，即要根据观测数据来求出地下物质的物理属性，进而根据这些属性求出地下的地质结构。与在其他学科中一样，在地球物理中将这类问题统称为地球物理反问题，或简称为反问题。
由于地球物理场的时空分布受有关偏微分方程的控制，所以地球物理反问题说到底就是偏微分方程的反问题。根据所要反演的内容，微分方程反问题又具体地分为系数反问题、场源反问题和几何反问题，等等。
偏微分方程反问题在理论上很难，在外观上很吓人。但是其后的基本思想却是非常之简单，即对比、修改和反复，直到能与观测数据对上时为止。
设想一个皇帝做了一个美妙的春梦，梦见了一个旷世美女。土地爷爷告诉他，这美女就住在京城里。为了能得到这个美女皇帝非常着急，茶不思、饭不想。眼看着日益憔悴的皇帝，有个能臣在觐见时就给皇帝出了一个主意：陛下先把全城的女子都抓进皇宫，然后再让画师照那旷世美女的样子画上一幅图。能和这幅图对上的女子必然就是陛下的心上人。皇帝听后大喜，即刻就吩咐抓人、画图、对比。显然，这个与图对比的过程要一个人一个人的来，这个不像就换下一个。由于想象与现实总会有点距离，所以完全与美女图对上是不可能的。因此，只要有个八、九分像就行了。
这个甄别美女的过程实际上就是解决反问题的基本过程。女子相当于是模型空间，即美女只能在女人中找，与男人无关。一个具体的女子就相当于是一个正演结果；而与美女图的对比就是与观测数据的对比。美女图是不变的，变的是一个一个的女子。同样，观测数据是不变的，变的只是一个一个的模型和根据这个模型计算出来的理论数据。那么换下一个美女与图对比相当于是什么呢？这实际上就是在模型空间中修改模型的过程。不断地换人实际上就是不断地换模型，这在数学上称为是迭代。最后，八、九分像就是设定反演的阈值。只要达到这个阈值，反演过程就可以结束了。因此，如果那个皇帝能把上述找梦中情人的过程数学化，那么他就是一个反演专家了。
根据上述介绍，地球物理反演的基本思想就是反复地修改模型、反复地换模型计算理论数据、然后再反复地将理论数据与观测数据进行对比。不难理解，这是一个非常耗时和费力的过程，不仅需要大量的CPU时间，也需要大量的硬盘空间。
在数学上，决定谁是下一个上来进行对比的女子是通过最优化算法实现的。因此，在地球物理反演中要用到的数学方法有3类：①微分方程或积分方程数值分析方法，用于实现正演计算，得到理论数据；②最优化算法，用于确定如何修改模型，以得到最终的反演结果；③大型或超大型代数方程组的数值求解方法，用于解决在正演和优化过程中所出现的代数方程组的数值求解问题。
3. 反射地震偏移成像
反射地震偏移成像的基本目的是利用观测数据重构地下构造。在理论上，可以将偏移成像看作是反问题的一种。可以证明，如果在实施反演时只迭代一次，即可得到常用的偏移公式。然而，与一般的反演问题不同，在偏移成像中对计算结果的选取是根据成像条件，而不是根据事先设定好的阈值。
由于偏移成像的内容很多，最好是能对其进行专门的介绍。所以，在此就不再进行进一步的讨论了。
4. 函数与积分计算
无论在正演时还是在反演中，都会遇到初等函数、特殊函数、以及含有这些函数的无穷或有限积分。虽然表面上看对这些函数或积分进行计算是一个非常简单的事情，但是如果处理不当会引起两种后果：①计算结果中含有的误差过大，无法应用；②计算结果准确，但是计算速度太慢，达不到实际应用中对计算速度的要求。
作为开篇，今天就介绍到这里。在接下来的文章中，会逐个地介绍地球物理与数学之间有什么样的恩爱夫妻关系。
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