一
混沌的定义 ,
混沌是20世纪兴起的新科学,混沌理论自产生以来,对自然科学和 社会科学均产生了巨大的冲击.有人主张,混沌是20世纪物理科学中 继相对论,量子力学后的第三次大革命,它排除了拉普拉斯决定论的可 预见性的狂想.
混沌一词至今没有公认的定义,1975年,李天岩和约克发表了一篇 论文,其中首次精辟提炼了"混沌现象"的数学概念.李在此文中证明 了如果某个(连续的)区间叠代Xn=f(Xn.)有一个周期点的话,就一定 有一切周期点.表明周期3系统是否稳定完全依赖于初值的准确性. 初值的任何小的输入偏差都可能导致周期点的巨增,而在现实中的初 值一般是统计数据,几乎不可能保证其精确度,往往有"差之毫厘,谬之 千里"的危险.由此可知对初始条件的敏感依赖是混沌的显着特征. 一
谈起混沌,必然要提到分形.分形是混沌的几何学,它可以用简 单的规则来描述复杂的自然形状.和混沌定义一样,总括的,最后的分 形定义尚不存在.参考埃德加?彼德斯的定义:一个分形是一个对象,
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它的部分以某种方式与整体相关.所以分形是自指的(~lfreference)或 自相似的(selfsimilar).最容易觉察到的自然分形中的一个就是树.分 形的自相似性不但体现于空间方面,在时间方面,分形时间序列同样显 示出自相似性.例如,我们经常与股票收益率曲线相接触,那么如果不 做特别标度,人们很难分辨出日,周,月收益率曲线,因为它们是分形. 形式上,在混沌系统和分形之间没有数学联系.然而,通过标绘混 沌系统的可能解,我们可以很容易看到这种联系.这里举一个典型的 例子,就是洛克斯蒂克方程:
X…=4aX(1一X)
其中:0<x1,0<1,我们用图1来标绘该方程的可能解. 巨1周期倍增分叉导向混沌
图l是洛克斯蒂克方程的分叉图示意图.它标出了相对常数(a)的 相应值的x的可能值.这张图给人一种直观的感觉:周期倍增分叉,越 分越密,密得不得了的时候,就糊成一片,出现混沌.此时已无周期可 言.叠代的数据到处乱跑,无法把握.即使如此,当我们对某一局部放 大时,总可以发现较大分叉图的微缩版,而且可以永远继续下去.这些 小局部是与整体相关的,这就使得混沌与分形联系起来了.同时,图1 还表明,即使最简单的非线性系统.也会产生足够复杂的结果(出现混 沌::
二,有效市场假说可靠性分析
当今资本市场理论是建立在有效市场假说(EfficientMarket Hypoth~is,EMH)基础之上,EMH假定投资者是理性的,投资者用生成 期望收益率的概率的加权方法来估价潜在的收益率,追求均值厂方差有 效性投资音需要给定风险水平上期望收益率最高的资产.同时,市 场是有效的,价格反映了所有公开信息价格变化各不相关可能有某 ——一'一'——
种非常短期的相关性除外,而这是会迅速消散
的.由于以上两个因素,收益率遵循随机游动,
其概率服从正态分布.
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EMH是以对社会的线性视点为基础的.
根据这一视点,投资者是以线性方式对信息作
出反应.也就是说,他们在接到信息便立即作
出反应.线性视点是内在于理性投资者的概念
的.因此,线性范式暗示收益率应该有近似正
态的分布,应该是独立的.
那么,EMH的以上假定可靠吗?让我们举一简单例子来分析投资 者是否真的"理性":假定一个投资者看到三个可能的经济场景:正增 长,零增长和负增长,如果经济是正增长,该投资者感觉市场将升高 12%;如果是零增长,市场将下降1%;如果经济陷入衰退,市场将下降 8%.该投资者估计增长的发生概率为60%,零增长是30%,而负增长 是10%.EMH假定投资者将以理性的和无偏的方式设定其主观概率, 所以期望收益率将是:
06×12%+0.3×(一1%)+0.1×(一8%)=61%
现实中,许多投资者确实以这种方式决策,但却不一定把他们的最 后决定建立在概率上面.比方说彩票的期望收益率一般是负的,可是 却有那么多的人在玩彩票,虽然它不是一件"理性投资者"应该做的事. 玩彩票的人明显感觉到大收益的可能性会抵消亏损的风险,虽然从概 率角度说他们处于不利地位,但他们却总想赌一把.显然,他们不是 "理性的",但却反映了人类的本性.由此可见,理性投资者的假定不总 是凑巧.那么,如果单独的投资者不大可能是按定义的理性方式作出 反应的,我们也没有任何理由相信总体会好一些.
另一方面,投资者是否以线性方式对信息作出反应?事实往往是: 投资者得到信息却不知如何解读它,便处于观望状态,直到某些趋势在 他们看来已经明了,这时他们会把过去所忽略的信息一起纳入当前的 决策,从而表现出跳跃式非线性性质.这种以过渡的,累计的,跳跃的 方式对信息作出反应,即是以非线性方式对信息作出反应,并不符合 "理性投资者"线性反应假设,而长久以来的有效市场假说却是以线性 为基础建立整个理论分析框架的.
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重要的一点是如何验证资本市场是否真的遵循有效市场假说所假 定的随机游动呢?这里,我们可以通过估计赫斯特指数来进行检验. 对于一个即存的时间序列t,观测次数为u
t
X=?(q=MN)(1)
其中:X=N个期间的累积离差,q=年u的观测值,MN=N个期 间e,的平均值.
定义极差R为1(1)式所获得的最大值和最小值之间的差. R=Max(X.N)一Min(X)(2)
其中:R=X的极差
Max(X)=X的最大值
Min(x)=X的最小值
用观测值的标准差去除极差,赫斯特建立了以下关系: R/S=(aN)"(3)
其中:R/S=重标极差,N=观测次数,a=常数,H=赫斯特指数. 当H=0.5时,标志着一个序列是随机的,事件是随机的和不相关 的.当0?H<0.5时,系统是反持久性或遍历性的时间序列,这种系统 不常见.当05<H<1.00时,说明观测不是独立的,而是一个持久性 时间序列,或者说是有偏随机游动.偏倚的强度依赖于H比0.5大多 少.
随H接近于1,两个相邻事件上相跟随的概率就越高.即如果序列 在前一个期间是向上走(向下走)的,那么,它在下一个区间将在很大程 度上继续是正(负)的.
H不等于05的时候,说明每个观测都带着在它之前发生的所有事 件的"记忆",这种记忆的逐渐减弱以至消失标志着系统的一个周期的 结束.
通过取等式(3)的对数,有
log(R/s)=Hlqg(N)+log(a)(4) 因此,找出R/s对于N的!r糍/1图的斜率,我们可以给一个对于
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H的估计.(下转第24页)
?争鸣《经济师))2004年第6期
(上接第22页)
对于非常长的N,我们会期望序列收敛到H=0.5,意味着记忆效应 减弱到度量不到的那个点,所以,H的估计应该用H收敛到0.50之前的 数据进行.
埃德加?彼德斯将这一R/S分析应用于不同的资本市场(股票市场, 债券市场,通货)及各类经济指数分析.在所有这些场合,都发现了分析 对象的分形结构和非周期性循环.
在分析市场时,首先应将价格或收益序列转换为对数收益率,即: SI:ln(P/P()
其中:S=t时的对数收益率,P=t时的价格.
之所以做这样的转换而不使用传统的价格的百分比变化,是因为 R/S分析中的极差是对于平均值的累积离差,对数收益率加起来等于累 积收益率,而百分比变化却不是.
然后把等式(1)和(2)应用于不同的时间增量N,对应估计出R/S的 值,之后在的整个值域上做l.g(N)IOg(R/S)的回归,并根据等式(4)把 斜率作为H的估计值.
做这一分析后发现,所有log/log图中都存在一点,在此点之前H> 0.5显示分析对象是分形,而不是随机游动.当过了此点后,图形就开始 遵循H:0.5的随机游动线,表明一个长期记忆过程的结束,即对于初始 条件的记忆丢失,这从另一角度也表明自然分形不是无限的而是有限 的
同时为了证明长期记忆效应确实存在,埃德加?彼德斯将所有被检 测序列打乱后重新计算赫斯特指数,发现打乱后的序列给出的H更接近 于050,证明打乱破坏了原来序列的长期记忆结构,使它变成了一个独 立的序列.
赫斯特统计特性在资本市场中的出现表明有效市场假说的前提是
不可靠的,从而预示着从EMH导出的数量模型如资本资产差定价模型 (CAPM),套利定价理论(APT)和布莱尔一斯科尔斯的期权定价模型以 及其他许许多多依赖正态分布和有限方差的经济模型必将失灵. R/S分析表明,大多数资本市场实际上是分形,分形时间序列是以 一
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长期记忆过程为特征,它们具有循环和趋势,并且是非线性动力系统和 确定性混沌的结果.信息不像有效市场假说那样立即被反映在价格中, 而是在收益率中体现为一个偏倚,这个偏倚无限地向前行进,虽然系统 可能会最终失去对于初始条件的记忆.
混沌系统的重要特征就是分形维的存在和具有对于初始条件的敏 感依赖的证据,后者表明:我们现在在哪儿依赖于我们曾经在哪里,而我 们能够多么准确地预报未来依赖于我们对于我们现在在哪儿知道多少. 一
个事件可以无限地影响未来,虽然系统可能只在有限的时间长度内记 住这一事件.埃德加?彼德斯利用格拉斯贝格尔和普罗卡恰方法以及李 雅普诺夫指数对美国股票市场进行了验证,发现美国股票市场有一个大 约2.33得分形维和一个正的李雅普诺夫指数,显示其对初始条件的敏 感依赖性,换句话说预测时间越长预测就越不可靠.
三,结论
以上分析显示,资本市场事实上是非线性动力系统,而不符合有效 市场假说的线性假设.EMH通过简化假设,去掉各个因素之间的非线 性关系,从而也剧烈地改变了所研究系统的性质,使所建立的理论体系 的可靠性受到质疑.埃德加?彼德斯在一次接受记者采访时所打的比方 非常好:我们种下橡实,可以预测它会长成一棵橡树,但对于它会长成一 棵什么样的橡树却是一无所知.
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