费马大定理传奇-07 来自琦记杂谈 00:00 12:16

之前有说过伽罗瓦创立了群论，那么群论到底是什么呢？群论就是讨论群这种代数结构的一种理论。对于群这个概念我们打个比方，比如说对于乘法来说，如果能满足以下条件，一是封闭性，就是说如果A和B属于集合G，那么存在唯一确定的C使得A乘以B等于C，而且C也属于集合G。比如说自然数集合，两个自然数相乘了结果肯定还是自然数这个集合，所以从这一点上说就自然数满足封闭性。但如果说把范围缩小一点，比如说负数，正负的负。两个负数乘一起就变成正数了，所以说负数就不满足封闭性。所以就第一条封闭性来说负数就不是群。第二个条件是结合律成立。在前面说封闭性的时候有强调过对于乘法来说这几个字，所以结合律也就是说对乘法的结合律。这个是这样的，就说集合G里有ABC三个元素，它们满足下面这种运算，就是A先和B相乘之后的结果再和C相乘，这个结果和B和C相乘之后的结果再乘以A的结果是一样的，也就是说谁和谁先乘，完了再跟第三个元素相乘结果是不变的，这就是结合律成立。第三个是单位元存在，就是说存在一个单位元E，则A乘以E等于E乘以A而且也等于A，就类似自然数里的1，跟谁相乘结果都还是原来那个数。第四个条件是逆元的存在，就是在集合G中存在A和B，那么A乘以B等于B乘以A而且还等于单位元E，则称A和B互为逆元素，简称为E元。比如说有理数的三分之一和3相乘等于3乘以三分之一，相乘的结果都等于1也就是单位元。当同时满足封闭性、结合律成立、有单位元、有逆元这4个条件的时候，这个集合G对于乘法运算就构成了一个群。要是感兴趣自己也可以试试自然数对加法运算能不能构成一个群，试试整数对除法运算能不能构成一个群，这里先说一下答案吧，答案是前一个能，后一个不能。

知道了群的概念之后再说一下置换的概念，不过只能靠脑补了，这个概念比较复杂，在音频中比较难说明。举一个简单的例子，比如说有A、B、C三个元素，对于ABC来说，按照先后顺序排列组合就有6种可能，就是第一个位置有3种可能，第二个位置剩两种可能，最后一个位置就只有一种可能，因此就是3*2*1就是六种组合。那么很好理解，对于5个元素的排列组合就有5*4*3*2*1=120种组合。所以对于N个元素来说就有N的阶乘这么多种组合。下面这样进行思考，把ABC的排列顺序固定，然后用这6种排列顺序都相对ABC这个排列顺序进行观察，就可以视作把ABC通过某种换位的方式来形成新的序列，这种换位就叫做置换。对于3个元素的集合来说置换就有6种，那么把这6种置换当作一个集合，每一种置换都用一个符号来代替。去验证这个集合中的6个符号元素就会发现它们满足之前说的四个条件即封闭性、结合律、单位元和逆元，所以对于这种置换来说它们就是群，群中有多少个元素就叫几阶的群，在这个例子中就是一个6阶的群。N个不同的元素就有N的阶乘种置换，这些置换构成的群的阶是N的阶乘。

置换之后的概念就是子群了，是指一个群中某一部分元素组合在一起，它仍满足群的四个条件，那么这些元素就是大群中的子群。还用刚才的ABC的那个例子，这个群就存在三个子群，它们的置换动作是一样的，就是任意选择一个字母保持不变，另外两个元素互换一下。这三个子群每个都有两个元素，第一个元素就是保留的那个字母，然后另外两个字母换一下位置，第二个元素就是保持恒定不变。这两个元素形成的子群因为有两个元素，所以阶就是2。如果用母群的阶数去除以子群的阶数就会得到一个叫指数的东西，在前面那个例子里就是6÷2等于3。拉格朗日曾经证明了有限子群的阶总能等分有限母群的阶，举个例子就是假如母群有12个元素就是12阶，那么它子群的阶就只有可能是2、3、4、6这4种可能，其他的阶没办法整除12，也就不是等分有限母群的阶了。伽罗瓦证明了一个事，就说对于方程来说，一个方程有可能有N个解，一个方程的解的所有置换总能对应一个伽罗瓦群。伽罗瓦群的概念太复杂了这里就不说了，有兴趣的可以自己查查。要说伽罗瓦的结论还要先说一下正规子群，如果子群中每个元素满足母群中有一个元素组成它，并由这个元素的逆元素又乘它得出的结果，如果这个结果还在这个子群里，那么就称这个子群为母群的正规子群。而伽罗瓦的结论是一个方程要有公式解，这个方程的解的最大置换群必定能对应一个伽罗瓦群，在这个伽罗瓦群中每个正规子群的阶去除伽罗瓦群的阶后的结果如果都是素数的话，这个方程就说明有公式解。还是用之前那个例子来说，一般方程根的个数跟其次方数相等，因此三次方程有三个解，用ABC代替3个解，那么解的母群就是6阶，它的正规子群有2个元素的也有3个元素的，无论子群是2个元素还是3个元素，6除以2=3，6除以3=2，2和3都是素数，所以说三次方程就是存在公式解的，只不过这个公式解太复杂了。对于5次方程来说，5次方程对应的伽罗瓦群的阶是120阶，伽罗瓦证明了必定存在一个120阶的群来对应所有解的置换，群中至少会出现两个元素的正规子群，这样用120除以2就等于60，因为60不是素数，所以说一般的5次方程是没有公式解的。不过有时候也要看五次方程的系数，对于有些系数来说这个群中的正规子群的阶除120之后所有的指数都是素数，那这样的五次方程还是有公式解的。这仅仅是一个结论，伽罗瓦做的就是把这些结论整个都证明出来了，这种事一般只有感兴趣的才会去关注，而且都特别复杂。

三次方程求根公式

任何人说到伽罗瓦都会说到他的死，在这条路上有两个年轻人的经历就很相似，他们就是伽罗瓦和阿贝尔。他们少年时期都是单亲家庭，在中学也都遇到了自己的伯乐，而且都在同时解决了一个问题，并且被法国科学院的保守制度拖了后腿，并且都遇到了柯西，柯西还把这俩人的论文都弄丢了。两个人在爱情上也都不顺，阿贝尔至死都没谈过恋爱，伽罗瓦也差不多。伽罗瓦在住进康复之家两个月后，在5月30号和对手进行手枪对决的时候死亡的。5月29日晚他就写了三封绝笔信，一封是给共和党员的，他这么写：“我将为一个下流卖俏女和两个被她愚弄的人牺牲，我生命的火花在一件可悲的风流韵事中熄灭了。为什么要这么无聊的死去，苍天作证，我已经极力试图拒绝这场决斗了，但还是迫不得已接受。”。第二封信是给他两个朋友的，他说有两个爱国者向自己发起了挑战，自己不可能拒绝，希望这两个朋友能帮他证明自己是违背意愿参加决斗的，自己已经尽力用和平的方式去解决问题，但失败了。第三封信是给他的挚友奥古斯特的，他说自己在分析上有了某种新发现，首先是关于方程理论的，剩下的发现都是关于积分函数的。在方程理论中自己已经研究了什么条件下方程可以用一个公式解出来，这也给了人类让这门学科更加深刻的机会。即使方程没有公式解，也可以描绘出这个方程解所有可能的变化，自己所有的数学成就都在三篇论文中，然后伽罗瓦就详细写了几个新定理。在信的末尾写到：“亲爱的奥古斯特你知道这些题目并不是我研究的全部，我没时间了，我的思想在这些领域中没有得到充分的发展，而这些领域是如此的广阔。”他还请求奥古斯特公开跟雅可比和高斯请教，并请他们对这个领域的重要性而非正确性做出评论，这样就算自己出错了，之后的人也会对这个领域引起足够的重视。信的最后还有一些注释，比如说这些方程是从哪得来的。注释中有一句话是这么说是：“要完成这个证明还需要做一些工作，但我没有时间了。”之后对伽罗瓦的尸检报告说伽罗瓦是右侧腹部中弹，他们决斗的距离差不多是25步左右，子弹穿过几截肠子后就留在了肾里。从科尚医院的记录表里可以看到当天早上9点半被送到医院，当时医院只能通知伽罗瓦的弟弟阿尔弗雷德，主治医生当时就知道伽罗瓦没救了，时间又过去25个小时，最终伽罗瓦在5月31号上午10点离世。

伽罗瓦在决斗中被处决

伽罗瓦决斗的原因众说纷纭，有的人就说他是被政敌杀掉的，他爱恋的那个斯蒂芬妮其实是个被安排好的特务，起到煽风点火的作用。还有种说法就是伽罗瓦决心为共和党人的理想而自我牺牲，因为共和党需要一个具有影响力的尸体来发动起义，所以就安排了这次对决。但其实从前面的信可以看出来他并不是自愿参与这次决斗，他是迫于压力才去应战，而对手一定是共和党人。他的信里还有一些内容，比如说他称共和党的人是爱国者，而他称自己也是爱国者。而且他知道对方的枪法非常好，不然也不会在还没决斗的时候就知道自己必死无疑了。后世对跟伽罗瓦决斗的这两个爱国者猜测，他们都是伽罗瓦搞革命的时候的战友，一个是前国民卫队的队长，也正是他开办了这个康复之家。另一个是伽罗瓦率领600人游行喊口号的时候跟在他身后的一个共和党革命人士，他们俩的特征都很符合证据，不过至于为什么要杀伽罗瓦到现在都不得而知。伽罗瓦的葬礼有几千人参加，巴黎警局当时都做好了这些人会暴动的准备，结果最终还是没闹事。

伽罗瓦去世之后，他托付的朋友也很负责，就把伽罗瓦在世时候的那些手稿整理了几年，然后把材料就寄给了当时法国著名的数学家约瑟夫·刘维尔。刘维尔一下就被伽罗瓦的思想给震撼了，于是就开始四处推荐伽罗瓦的论文，他也是第一个公开承认伽罗瓦群论的数学家。伽罗瓦是1832年5月去世的，刘维尔发表伽罗瓦成果的时间是1846年，中间就过去了14年。到了1856年，德国和法国的大学里的高级代数课程就已经开始教授伽罗瓦的群论了。当年把伽罗瓦开除的学校也洗心革面了，在百年校庆上，巴黎综合技术学院的师范学院请了著名的数学家为伽罗瓦的成就做总结。在伽罗瓦去世77年后也就是1909年，这个学校的校长去了伽罗瓦的墓前献上了特别的敬意。他在伽罗瓦的墓前发表了讲话，题目为《我的过失》，他说：“我在师范学院所处的位置使得我有到这里演讲的荣誉，市长先生，感谢您允许我以这个学校的名义向天才的伽罗瓦表示歉意。他原本不愿意进入这个学校，在学校里他遭受到误解并被驱逐，但我们不能忘记，因为他曾是我们学校最夺目的一颗星。”

伽罗瓦的故事就讲完了，下一期就会回到怀尔斯的证明当中。欲知后事如何，请看下回分解。