该贴无简介
误区警示
求直线斜率时,一定要根据题目条件对斜率是否存在作出判断,以免漏解.
易错题剖析
求经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并指出倾斜角α的取值范围.
错解 ? 由斜率公式可得直线AB的斜率k==.
当m>1时,k=>0,所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<>90°;
当m1时,k=0,所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<>180°.
错因分析 ? 利用斜率公式求直线的斜率的条件是“x1≠x2”.而错解中没有考虑m=1的情况,忽略了斜率不存在的情况.
正解 ? 当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时直线的倾斜角α=90°.
当m≠1时,由斜率公式可得直线AB的斜率k==,
当m>1时,k=>0,所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<>90°;
当m1时,k=0,所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<>180°.
误区警示
当直线的倾斜角α∈[0°,90°)时,随着α的增大,直线的斜率k为非负值且逐渐变大;当直线的倾斜角α∈(90°,180°)时,随着α的增大,直线的斜率k为负值且逐渐变大.
易错题剖析
已知点A(2,1),B(-2,2),若直线l过点P(-,-),且与线段AB有交点,则直线l的斜率k的取值范围是 .
错解 ? 如图,由经过两点的直线的斜率公式可得,直线PA的斜率kPA=,直线PB的斜率kPB=-,所以直线l的斜率k的取值范围是[-,].
错因分析 ? 在直线l的允许活动范围内,l的倾斜角连续变化时,直线斜率的变化并不一定连续,当直线l垂直于x轴(即直线l的倾斜角为90°)时,直线l的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜率的变化与倾斜角变化的关系,忽略直线倾斜角为90°时直线无斜率.
正解 ? 当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时,l的斜率逐渐变大直至l垂直于x轴,当直线l垂直于x轴时,l无斜率,再转动时斜率为负值并逐渐变大直到PB的位置,所以直线l的斜率k≥kPA=或k≤kPB=-,即k≥或k≤-.
误区警示
对于含有参数的直线垂直问题,要分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论,避免漏解.
易错题剖析
已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.
错解 ? 由斜率公式知,kAB==,
kCD==.
∵AB⊥CD,∴kAB·kCD=-1,
即·=-1,
解得m=1,∴m的值为1.
错因分析 ? 错解忽略了直线斜率不存在的情况.
正解 ? ∵A,B两点纵坐标不相等,∴AB与x轴不平行.∵AB⊥CD,∴CD与x轴不垂直,∴-m≠3,即m≠-3.
当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1,而m=-1时,C,D纵坐标均为-1,则CD∥x轴,此时AB⊥CD,满足题意.
当AB与x轴不垂直时,由斜率公式知,
kAB==,kCD==.
∵AB⊥CD,∴kAB·kCD=-1,
即·=-1,解得m=1.
综上,m的值为1或-1.
误区警示
当两直线的斜率存在时,两直线平行的等价条件是斜率相等且纵截距不相等,解题时容易忽略纵截距不相等,从而导致增解.
易错题剖析
已知直线l1:y=-x-,l2:y=-x-m,当l1∥l2时,求m的值.
错解 ? 由l1∥l2,得-=-,
解得m=3或m=-1.
∴m的值为3或-1.
错因分析 ? 错解忽略了直线重合的情况,从而导致错误.
正解 ? 由l1∥l2,得解得m=-1.
∴m的值为-1.
误区警示
用点斜式求直线的方程时,要讨论斜率的存在性,同时注意方程成立的条件.
易错题剖析
求过点M(m,0)和点N(2,1)的直线方程.
错解 ? 直线的斜率为k==-.
又直线过点N(2,1),
∴直线的点斜式方程为y-1=-(x-2).
错因分析 ? 由于m的取值不确定,故需要对m进行讨论,错解忽略了m=2的情形,即斜率不存在的情况.
正解 ? 当m=2时,过点M(m,0)和点N(2,1)的直线斜率不存在,其方程为x=2.
当m≠2时,直线的斜率为k==-.
又直线过点N(2,1),
∴直线的点斜式方程为y-1=-(x-2).
综上,当m=2时,所求的直线方程为x=2.
当m≠2时,所求的直线方程为y-1=-(x-2).
若直线y=kx+2(k∈R)不过第三象限,则k的取值范围是 .
错解 ? 当k>0时,直线过第三象限;当k0时,直线不过第三象限.故k的取值范围是(-∞,0).
错因分析 ? 忽略了k=0的情况从而导致错解.
正解 ? 当k=0时,直线y=2不过第三象限;当k>0时,直线过第三象限;当k0时,直线不过第三象限.
故k的取值范围是(-∞,0].
误区警示
l1⊥l2并不等价于k1·k2=-1,一般地,设直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0).l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0.l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论,可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.
易错题剖析
已知直线l1:(2-a)x+ay-3=0,l2:(2a+3)x-(a-2)y+2=0互相垂直,求实数a的值.
错解 ? 将l1的方程化为y=x+,得斜率k1=;将l2的方程化为y=x+,得斜率k2=.
∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,即×=-1,解得a=-1.
错因分析 ? 将直线的一般式方程化成斜截式,再运用直线的斜率判断直线垂直,没有考虑直线的斜率不存在的情况,所以答案不完整.
正解 ? 因为l1⊥l2,则必有(2-a)(2a+3)-a(a-2)=0,即a2-a-2=0,所以a=2或a=-1.
误区警示
在利用两直线平行求参数时,要注意两直线重合的特殊情况,否则容易出错.
易错题剖析
已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行,求a的值.
错解 ? ∵两直线平行,∴=,解得a=-1或a=3.
错因分析 ? 上述解法忽略了两条直线可能重合的情况,实际上,当a=-1时,==,此时,两条直线重合,故a=-1舍去.
正解 ? ∵两直线平行,∴=≠,解得a=3.
误区警示
不同形式的方程均有其适用条件,在解题时应注意截距式方程的应用前提是截距均不为0且直线不垂直于坐标轴.
易错题剖析
求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程.
错解 ? 设直线方程为+=1,
将x=2,y=3代入,得+=1,解得a=5.
故所求的直线方程为x+y-5=0.
错因分析 ? 截距相等包含两层含义,一是截距不为0时的相等,二是截距为0时的相等,而后者常常被忽略,导致漏解.
正解 ? (1)当截距为0时,直线l过点(0,0),(2,3),
∵直线l的斜率为k==,
∴直线l的方程为y=x,即3x-2y=0.
(2)当截距不为0时,可设直线l的方程为+=1,
∵直线l过点P(2,3),∴+=1,
∴a=5,∴直线l的方程为x+y-5=0.
综上,直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.
误区警示
解决此类问题的关键是要考虑全面,若注意运用数形结合,则事半功倍.
易错题剖析
若直线l1:y=kx+k+2与直线l2:y=-2x+4的交点在第一象限内,则实数k的取值范围是
A.k>- B.k2
C.-<>2 D.k<>或k>2
错解 ? A,B或D.
错因分析 ? 此题容易出错的地方有三点:一是没有正确求出交点坐标;二是交点在第一象限内的符号表示错误;三是没有利用数形结合的方法而使计算烦琐出现错误.
正解 ? 由题意知,直线l1过定点P(-1,2),斜率为k,直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4),若直线l1与l2的交点在第一象限内,则l1必过线段AB上的点(不包括A,B),因为kPA=-,kPB=2,所以-<>2.故选C.
误区警示
解决直线不能构成三角形的问题时,除了三条直线中至少有两条平行外,还要注意三线共点这一特殊情况.
易错题剖析
若三条直线l1:4x+y+4=0,l2:mx+y+1=0,l3:x-y+1=0不能构成三角形,求m的值.
错解 ? 当三条直线l1,l2,l3中至少有两条平行时,三条直线不能围成三角形.显然l1与l3不平行,只可能l1∥l2或l2∥l3.当l1∥l2时,m=4;当l2∥l3时,m=-1.
错因分析 ? 错解直接认为只有当存在两条直线平行时,不能构成三角形,而忽略了三线共点时也满足“不能构成三角形”这一条件.此时,只需先求出两直线交点的坐标,同时满足第三条直线的方程即可.
正解 ? 显然l1与l3不平行,当l1∥l2或l2∥l3时不能构成三角形,此时对应m的值分别为m=4,m=-1;
当直线l1,l2,l3经过同一点时,也不能构成三角形.
由得代入l2的方程得-m+1=0,即m=1.
综上可知m=4或m=-1或m=1.
误区警示
当用待定系数法确定直线的斜率时,一定要对斜率是否存在进行讨论,否则容易犯解析不全的错误.
易错题剖析
已知直线l过点A(1,2),且原点到直线l的距离为1,求直线l的方程.
错解 ? 由题意设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.因为原点到直线l的距离为1,所以=1,解得 k=.所以所求直线l的方程为 y-2=(x-1),即 3x-4y+5=0.
错因分析 ? 符合题意的直线有两条,错解中忽略了斜率不存在的情况,从而只得到了一条直线.
正解 ? 当直线l过点A(1,2)且斜率不存在时,直线l的方程为x=1,原点到直线l的距离为1,满足题意.
当直线l过点A(1,2)且斜率存在时,由题意设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.因为原点到直线l的距离为1,所以=1,解得 k=.所以所求直线l的方程为 y-2=(x-1),即 3x-4y+5=0.
综上所述,所求直线l的方程为x=1或3x-4y+5=0.
联系客服
