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误区警示
在解析几何中,涉及距离问题时,一定要加绝对值,否则容易漏解.
易错题剖析
已知某圆圆心在x轴上,半径长为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.
错解 ? 如图所示,由题设知|AB|=8,|AC|=5.在Rt△AOC中,|OC|===3.
∴点C的坐标为(3,0),∴所求圆的标准方程为(x-3)2+y2=25.
错因分析 ? 由题意可求|OC|=3,点C在x轴上,则点C可能在x轴正半轴上,也可能在x轴负半轴上,错解只考虑了在x轴正半轴上的情况.
正解一 ? 由题设知|AC|=r=5,|AB|=8,∴|OA|=4.
在Rt△AOC中,|OC|===3.
设点C的坐标为(a,0),则|OC|=|a|=3,∴a=±3.
∴所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.
正解二 ? 由题意设所求圆的标准方程为(x-a)2+y2=25.∵圆截y轴所得线段长为8,∴圆过点A(0,4).
代入方程得a2+16=25,∴a=±3.
∴所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.
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含有参数的问题,在寻求参数的取值范围时要特别注意题目中的隐含条件.
易错题剖析
已知点A(1,2)在圆C:(x+a)2+(y-a)2=2a2的外部,求实数a的取值范围.
错解 ? ∵点A(1,2)在圆的外部,∴(1+a)2+(2-a)2>2a2,即5-2a>0,∴a,
∴实数a的取值范围是(-∞,).
错因分析 ? 忽略了圆的标准方程中隐含着r2>0这个条件.
正解 ? ∵点A(1,2)在圆的外部,∴(1+a)2+(2-a)2>2a2,即5-2a>0,∴a,又2a2>0,∴a≠0.
∴实数a的取值范围是a且a≠0.
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只有在D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示圆,求解时应注意这个隐含条件.
易错题剖析
若坐标原点O在方程x2+y2-x+y+m=0所表示的圆的外部,求m的取值范围.
错解 ? ∵点O(0,0)在圆的外部,
∴0+0-0+0+m>0,即m>0,
∴m的取值范围为(0,+∞).
错因分析 ? 忽略圆的一般方程中的隐含条件致错.
正解 ? ∵点O(0,0)在圆的外部,
∴0+0-0+0+m>0,即m>0,
又r=>0,得(-1)2+12-4m>0,即m,∴m的取值范围为(0,).
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有关动直线与圆的位置关系问题一定要注意看清运动中的不变量,准确画出图形,并注意方程中的隐含条件.
易错题剖析
已知直线l:y=x+b与曲线C:y=有两个不同的公共点,求实数b的取值范围.
错解 ? y=可变形为x2+y2=1,当直线与圆相交时,圆心到直线的距离d<>,则|b|,即-<>.
错因分析 ? 忽略方程y=表示的图形是半圆,而不是圆.
正解 ? 如图(数形结合),方程y=x+b表示斜率为1,在y轴上截距为b的直线l;方程y=表示单位圆在x轴上及其上方的半圆.当直线过B点时,它与半圆交于两点,此时b=1,直线记为l1;当直线与半圆相切时,b=,直线记为l2.若直线l与半圆有两个不同的公共点,则必须满足l在l1与l2之间(包括l1但不包括l2),所以1≤b,即所求b的取值范围是[1,).
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当直线与圆相切求切线方程时,要特别注意所求直线的斜率是否存在,以防遗漏.
易错题剖析
求过点(0,7),且与圆x2+y2-6x-6y+9=0相切的直线方程.
错解 ? 设切线方程为y=kx+7,
代入圆的方程,整理得(k2+1)x2+(8k-6)x+16=0.
由题意知Δ=(8k-6)2-64(k2+1)=-4(24k+7)=0,
解得k=-.
故所求切线方程为y=-x+7,即7x+24y-168=0.
错因分析 ? 过圆外一点作圆的切线应该有两条,上述解法显然漏解了,事实上错解忽略了斜率不存在的情况,应该补充完整.
正解 ? 当切线斜率存在时,
由错解知切线方程为7x+24y-168=0;
当切线斜率不存在时,切线方程为x=0,也符合情况.
故所求切线方程为7x+24y-168=0或x=0.
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在解决两圆相切问题时,切记分内切和外切,不要遗漏.
易错题剖析
求半径长为4,与圆C:x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.
错解 ? 由题意知,所求圆的圆心为A(a,4),半径长为4,故可设所求圆的方程为(x-a)2+(y-4)2=42.
把圆C的方程化为标准方程,得(x-2)2+(y-1)2=32,∴圆C的圆心为C(2,1),半径长r=3.
由两圆相切,得|CA|=7,∴(a-2)2+(4-1)2=72,解得a=2±2,∴所求圆的方程为(x-2-2)2+(y-4)2=16或(x-2+2)2+(y-4)2=16.
错因分析 ? 上述错解只考虑了圆心在直线y=0上方的情形,而漏掉了圆心在直线y=0下方的情形,另外错解没有考虑两圆内切的情况,是不全面的.
正解 ? 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径长为4,故圆心为A(a,4)或A(a,-4).圆C的圆心为C(2,1),半径长r=3.若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.作分类讨论:
当取A(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),故a=2±2,此时所求圆的方程为(x-2-2)2+(y-4)2=16或(x-2+2)2+(y-4)2=16;
当取A(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),∴a=2±2,此时所求圆的方程为(x-2-2)2+(y+4)2=16或(x-2+2)2+(y+4)2=16.
综上所述,所求圆的方程为(x-2-2)2+(y-4)2=16或(x-2+2)2+(y-4)2=16或(x-2-2)2+(y+4)2=16或(x-2+2)2+(y+4)2=16.
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平面直角坐标系中的性质在空间直角坐标系中并不能全部适用,如平面直角坐标系中的中点公式,可类比到空间直角坐标系中,而直线方程及一些判定定理、性质在空间直角坐标系中不一定适用.
易错题剖析
已知空间中两点A(-3,-1,1),B(-2,2,3),在z轴上有一点C,它到A、B两点的距离相等,求点C的坐标.
错解 ? 由已知得,AB的中点坐标为(-,,2),且AB所在直线的斜率k==3,故AB的垂直平分线的斜率为-,则垂直平分线的方程为z-2=-(x+)-(y-),
当x=y=0时,z=,故点C的坐标为(0,0,).
错因分析 ? 错解中照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误,以目前所学知识只能用空间两点间的距离公式求解.
正解 ? 设点C的坐标为(0,0,z),则=,即10+(z-1)2=8+(z-3)2,
解得z=,所以点C的坐标为(0,0,).
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建立空间直角坐标系时,一定要选好坐标原点,构建的x轴、y轴、z轴应为两两垂直的关系.
易错题剖析
已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.
错解 ? 以D点为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
由题意可得,P(0,0,10),D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),B(4,4,0).
错因分析 ? 空间直角坐标系建立的条件不对,选取的三条坐标轴应该两两互相垂直,本题中,应先求出正四棱锥的高,再根据正四棱锥的对称性,建立适当的空间直角坐标系.
正解 ? ∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,∴正四棱锥的高为2.
以正四棱锥的底面中心O为坐标原点,平行于BC、AB的直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2,-2,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),D(-2,-2,0),P(0,0,2).
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