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（2016·全国1卷）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在(,)单调,则ω的最大值为
A.11 | B.9 | C.7 | D.5 |
【解析】本题主要考查正弦函数的性质和三角函数的图像,考查考生对基础知识的理解及掌握情况.因为x=-为函数f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,所以+(k∈Z,T为周期),得T=(k∈Z).又f(x)在(,)单调,所以T≥,k≤,又当k=5时,ω=11,φ=-,f(x)在(,)不单调;当k=4时,ω=9,φ=,f(x)在(,)单调,满足题意,故ω=9,即ω的最大值为9. 选B.
【答案】B
（2016·全国1卷）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.
(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
【解析】本题主要考查解三角形知识,意在考查考生对公式的运用能力.(Ⅰ)由正弦定理进行边角互化求解C;(Ⅱ)由三角形的面积公式得ab,再由余弦定理联立方程求出△ABC的周长.
【答案】(Ⅰ)由已知及正弦定理得,
2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,
2cos Csin(A+B)=sin C,
故2sin Ccos C=sin C.
可得cos C=,所以C=.
(Ⅱ)由已知,absin C=.
又C=,所以ab=6.
由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7,
故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.
所以△ABC的周长为5+.
备注
beizhu
在解三角形的题目中,要有意识地考虑哪个定理更适合,或两个定理都要用,要抓住能用某个定理的关键点.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理.
（2016·全国2卷）若cos(-α)=,则sin 2α=
A. | B. | C.- | D.- |
【解析】本题考查了两角差的三角函数公式、二倍角公式以及同角三角函数的关系.因为cos(-α)=coscos α+sinsin α=(sin α+cos α)=,所以sin α+cos α=,所以1+sin 2α=,所以sin 2α=-,故选D.
【答案】D
（2016·全国2卷）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为
A.x= | B.x= |
C.x= | D.x= |
【解析】本题主要考查三角函数的图像变换和三角函数的性质,考查考生对基础知识的掌握情况.函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,得到的图像对应的函数表达式为y=2sin 2(x+),令2(x+)=kπ+(k∈Z),解得x=+(k∈Z),所以所求对称轴的方程为x=+(k∈Z),故选B.
【答案】B
（2016·全国2卷）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .
【解析】本题考查同角三角函数的关系、正(余)弦定理的应用,对考生的基本运算能力有一定的要求,需要考生能根据条件灵活选择相关公式进行解题.
解法一 因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,从而sin B=sin(A+C)=
sin Acos C+cos Asin C=+.
由正弦定理,得b=.
解法二 因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,从而cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C=-+.由正弦定理,得c=.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b=.
解法三 因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,
由正弦定理,得c=.
从而b=acos C+ccos A=.
解法四 如图,作BD⊥AC于点D,
由cos C=,a=BC=1,知CD=,BD=.
又cos A=,所以tan A=,从而AD=.
故b=AD+DC=.
【答案】
备注
beizhu
正、余弦定理在解三角形中的基本应用主要体现在以下三种常见问题中:(1)已知两角和其中一个角的对边,求解三角形;(2)已知两边及其中一边所对的角,求解三角形;(3)已知三边求解三角形.本题属于第(1)种,求解时应充分考虑条件的内在联系,直观运用图形,合理选择公式.
（2016·全国3卷）在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=
A. | B. | C.- | D.- |
【解析】本题考查解三角形的知识,考查考生的运算求解能力.设△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,由题意可得a=csinc,则a=c.在△ABC中,由余弦定理可得b2=a2+c2-ac=c2+c2-3c2=c2,则b=c.由余弦定理,可得cos A==-,故选C.
【答案】C
备注
beizhu
三角形中边角互化的依据是正弦定理、余弦定理,考生要能灵活应用.
（2016·全国3卷）若tan α=,则cos2α+2sin 2α=
A. B. C.1 D.
【解析】本题考查三角恒等变换,考查考生的运算求解能力.通性通法 由tan α=,cos2α+sin2α=1,得或,则sin 2α=2sin αcos α=,则cos2α+2sin 2α=+.
光速解法 cos2α+2sin 2α=.故选A.
【答案】A
（2016·全国3卷）函数y=sin x-cos x的图像可由函数y=sin x+cos x的图像至少向右平移 个单位长度得到.
【解析】本题考查三角恒等变换、三角函数的图像,考查考生对平移法则的理解和应用能力.函数y=sin x-cos x=2sin(x-)的图像可由函数y=sin x+cosx=2sin(x+)的图像至少向右平移个单位长度得到.
【答案】
备注
beizhu
函数图像变换法则是“左加右减,上加下减”.
（2016·全国3卷）设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.
(Ⅰ)求f '(x);
(Ⅱ)求A;
(Ⅲ)证明|f '(x)|≤2A.
【解析】本题主要考查导数与函数及不等式的综合应用,意在考查考生分析问题、解决问题的能力.(Ⅰ)利用求导公式求解;(Ⅱ)利用换元法转化为二次函数,结合二次函数的图像求解;(Ⅲ)结合(Ⅱ)的结论及不等式的知识,分段讨论进行证明.
【答案】(Ⅰ)f '(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x. (Ⅱ)当α≥1时,
|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).
因此A=3α-2. 当0α<>时,将f(x)变形为
f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1.
令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,
g(-1)=α,g(1)=3α-2,
且当t=时,g(t)取得极小值,极小值为g()=-.
令-1<>得α>.
(i)当0α≤时,g(t)在[-1,1]内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)||g(1)|,所以A=2-3α.
(ii)当α<>时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)>g().
又|g()|-|g(-1)|=>0,所以A=|g()|=.
综上,A=
(Ⅲ)由(Ⅰ)得|f '(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.
当0α≤时,|f '(x)|≤1+α≤2-4α<>-3α)=2A.
当α<>时,A=++>1,所以|f '(x)|≤1+α<>A.
当α≥1时,|f '(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.
所以|f '(x)|≤2A.
备注
beizhu
求二次函数在给定区间上的最值问题,一般需要对二次函数图像的开口方向、对称轴的位置等进行讨论.
（2016·浙江卷）设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期
A.与b有关,且与c有关
B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关
D.与b无关,但与c有关
【解析】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的最小正周期等基础知识,意在考查考生分析问题和解决问题的能力.由于f(x)=sin2x+bsin x+c=+bsinx+c.当b=0时,f(x)的最小正周期为π;当b≠0时,f(x)的最小正周期为2π.c的变化会引起f(x)图象的上下平移,不会影响其最小正周期.故选B.
【答案】B
备注
beizhu
在函数f(x)=h(x)+g(x)中,f(x)的最小正周期为h(x)的最小正周期和g(x)的最小正周期的最小公倍数.
（2016·浙江卷）已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .
【解析】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的基本性质等知识,意在考查考生的运算求解能力.由于2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=sin(2x+)+1,所以A=,b=1.
【答案】 1
（2016·浙江卷）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos
(Ⅰ)证明:A=2B;
(Ⅱ)若△ABC的面积S=,求角A的大小.
【解析】本题主要考查三角恒等变换、三角形内角和定理及正弦定理的应用等基础知识,考查考生的运算求解能力.(Ⅰ)利用正弦定理进行求解;(Ⅱ)利用三角形的面积公式及正弦定理求出
sin C=cos B,进而求出角A的大小.
【答案】(Ⅰ)由正弦定理得
sin B+sin C=2sin Acos B,
故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=
sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0A-B<>所以,
B=π-(A-B)或B=A-B,
因此A=π(舍去)或A=2B,
所以A=2B.
(Ⅱ)由S=得absin C=,故有
sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,
因为sin B≠0,所以sin C=cos B.
又B,C∈(0,π),所以C=±B.
当B+C=时,A=;
当C-B=时,A=.
综上,A=或A=.
备注
beizhu
把三角恒等变换与解三角形结合起来是近几年高考考查的主要内容,但考查核心依旧是三角恒等变换、正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及三角形面积公式.在解决这类问题时,要抓住问题的本质,灵活选用三角恒等变换的方法.
（2016·北京卷）将函数y=sin(2x)图象上的点P(,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则
A.t=,s的最小值为
B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为
D.t=,s的最小值为
【解析】本题考查三角函数的图象和性质,意在考查考生的数形结合思想、转化与化归思想以及运算求解能力.因为点P(,t)在函数y=sin(2x)的图象上,所以t=sin(2×)=sin.又P'(s,)在函数y=sin 2x的图象上,所以=sin 2(s),则2(s)=2kπ+或2(s)=2kπ+,k∈Z,得s=kπ+或s=kπ,k∈Z.又s>0,故s的最小值为.故选A.
【答案】A
（2016·北京卷）在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
(Ⅰ)求∠B的大小;
(Ⅱ)求cos A+cos C的最大值.
【解析】本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数、辅助角公式、三角函数的最值等知识,意在考查考生的转化与化归能力及运算求解能力.(Ⅰ)根据余弦定理,即可求出∠B的余弦值,从而求出∠B 的大小;(Ⅱ)根据(Ⅰ)中得到的∠B,利用三角形的内角和定理与两角差的余弦公式,再借助辅助角公式与角的范围限制,即可求出cos A+cos C 的最大值.
【答案】(Ⅰ)由余弦定理及题设得
cos B=.
又0∠B<>所以∠B=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知∠A+∠C=,则
cos A+cos C=cos A+cos(A)
=cos Acos A+sin A
=cos A+sin A
=cos(A).
因为0∠A,
所以当∠A=时,cos A+cos C取得最大值1.
（2016·山东卷）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.
(Ⅰ)证明:a+b=2c;
(Ⅱ)求cos C的最小值.
【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数之间的关系以及应用基本不等式求最值等,意在考查考生的基本计算能力和逻辑推理能力. (Ⅰ)首先把切函数转化为弦函数,将分式化为整式,然后根据和角公式及三角形内角和定理化简,最后根据正弦定理即可证明;(Ⅱ)首先根据(Ⅰ)中的结论和余弦定理表示出cos C,然后利用基本不等式求解其最值.
【答案】(Ⅰ)由题意知2(+)=+,
化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,
即2sin(A+B)=sin A+sin B,
因为A+B+C=π,
所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.
从而sin A+sin B=2sin C.
由正弦定理得a+b=2c.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知c=,
所以cos C=(+)-≥,
当且仅当a=b时,等号成立.
故cos C的最小值为.
备注
beizhu
解决三角形问题的关键是根据已知条件灵活进行边、角互化,如本题中第(Ⅰ)问,可以考虑逆推,即先把结论中边之间的关系转化为角的正弦值之间的关系,然后寻找已知条件和所证结论之间的关系.
（2016·四川卷）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+.
(Ⅰ)证明:sin Asin B=sin C;
(Ⅱ)若b2+c2-a2=bc,求.
【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等知识,考查考生的运算求解能力及转化与化归思想. (Ⅰ)利用正弦定理将+转化为角的关系,整理化简即可得证;(Ⅱ)利用余弦定理求出cos A,再结合(Ⅰ)即可求出tan B的值.
【答案】(Ⅰ)根据正弦定理,可设=k(k>0).
则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.
代入+中,有+,变形可得
sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B
=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
所以sin Asin B=sin C.
(Ⅱ)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有
cos A=.
所以sin A=.
由(Ⅰ),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin B=cos B+sin B,
故tan B==4.
（2016·江苏卷）在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 .
【解析】本题考查三角恒等变换、基本不等式的应用,考查等价转化思想的应用. 由sin A=sin(B+C)=2sin Bsin C得sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,两边同时除以cos Bcos C得tan B+tan C=2tan Btan C,令tan B+tan C=2tan Btan C=m,因为△ABC是锐角三角形,所以2tan Btan C>2,则tan Btan C>1,m>2.又在三角形中有tan Atan Btan C=tan(B+C)tan Btan C=·m==m2++4≥2+4=8,当且仅当m2=,即m=4时取等号,故tan Atan Btan C的最小值为8.
【答案】8
备注
beizhu
利用基本不等式求解最值时,要注意“一正二定三相等”条件的检验.
（2015·全国1卷）在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是 .
【解析】本题考查解三角形的有关知识以及运用数形结合思想解决问题的能力.
如图,作△PBC,使∠B=∠C=75°,BC=2,作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点(不与端点重合),且使∠BAD=75°,则四边形ABCD就是符合题意的四边形.过C作AD的平行线交PB于点Q,在△PBC中,可求得BP=+,在△QBC中,可求得BQ=-,所以AB的取值范围是(-,+).
【答案】(-,+)
（2015·湖南卷）已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω= .
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,结合数形结合思想、函数思想和转化思想求解三角函数问题.
由题意,两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离,设相邻的两交点坐标分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),易知|PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2,其中|y2-y1|=-(-)=2,|x2-x1|为函数y=2sin ωx-2cos ωx=2sin(ωx-)的两个相邻零点之间的距离,恰好为函数最小正周期的一半,所以(2)2=()2+(2)2,ω=.
【答案】
（2015·山东卷）设f(x)=sin xcos x-cos2(x+).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f()=0,a=1,求△ABC面积的最大值.
【解析】本题主要考查三角函数的性质、解三角形以及三角恒等变换等,意在考查考生基本的逻辑推理能力和计算能力.
(Ⅰ)首先利用二倍角公式及诱导公式将f(x)的解析式化为“一角一函数”的形式,然后求解函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)首先求出角A的三角函数值,然后根据余弦定理及基本不等式求出bc的最大值,最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC面积的最大值.
【答案】(1)由题意知f(x)=-
=-
=sin 2x-.
由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;
由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是[-+kπ,+kπ](k∈Z);
单调递减区间是[+kπ,+kπ](k∈Z).
(2)由f()=sin A-=0,得sin A=,
由题意知A为锐角,所以cos A=.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
可得1+bc=b2+c2≥2bc,
即bc≤2+,且当b=c时等号成立.
因此bcsin A≤.
所以△ABC面积的最大值为.
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