计算机是数学家一次失败思考的产物

转自：爱智慧PHILOSOPHIA

哲学园鸣谢

计算机是数学家一次失败思考的产物

[英]安德鲁·霍奇斯著

孙天齐译

节选自《艾伦·图灵传——如谜的解谜者》

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在战前，希尔伯特提出了一个关于欧几里得几何学的构想，他考虑了无限维度的空间。这个空间，在物理空间中是不能想象的，它更像是用音乐描绘的虚拟场景，你可以想象长笛音、小提琴音或钢琴音，它们是由很多个基音，第一泛音，第二泛音等等组成的──每种声音（理论上）是有无数个分音来使它与其它声音区分开。在这个空间中，一个点就好比一个声音，两个点可以相加（好比两个声音叠加），一个点能够和一个因子相乘（好比放大一个声音）。

冯·诺伊曼注意到，要想研究一个量子系统的状态，比如氢原子中的电子，正需要希尔伯特的这种观点。这种状态，就像声音一样可以叠加，而且这样的状态有无穷多种可能，正如一个声音可以有无数的泛音。希尔伯特空间可以用于严密地定义量子力学，并进行清晰的公理化逻辑推导。

希尔伯特空间这种意外的应用，正支持了艾伦对纯数学的看法。1932年，艾伦还得到了另一个支持，那就是，狄拉克基于抽象数学而预言的正电子，被发现是确实存在的。数学和科学，究竟是什么关系，这对艾伦·图灵来说，是一个复杂，微妙，对他个人的现代思考很重要的一个问题。

数学和科学的区别，在19世纪末才澄清。在此之前，人们往往认为，数学就是代表现实世界中的数量，然而这样的观点很快就被「负数」这样的概念终结了。十九世纪，数学的很多分支都朝着抽象观点发展，数学符号越来越脱离物质实体。

学校教的代数，也就是十八世纪的代数，会用字母来代表数值。它们遵守那样的加法或乘法规则，是因为它们就是真正的数值。到了20世纪，这个观点已经被抛弃了。像「x + y = y + x」这样的规则，也可以看成是一种游戏规则，来说明符号之间如何移动和结合。这种规则其实也可以用数字来说明，但这既没必要，也不怎么合适。

这种抽象的意义，就是把数学从传统的计数和测量中解脱出来。在现代数学中，如果你愿意，符号可以遵守任何规则，它的意义不仅是数值，它还可以根本没意义。量子力学是一个很好的例子，说明数学的扩展成功地应用于物理学。它证明了，建立一个不是由数值组成的，而是由形式组成的理论，是非常必要的，希尔伯特空间就是代表。另外一个量子物理学家们正忙于研究的纯数学问题，就是「抽象群」的发展。数学家们形式化地描述「运算」，把运算的结果也看成抽象的。

但在另一方面，面向抽象的发展，也给纯数学内部带来了一些危机。它被当成一种游戏，按照随意的规则来玩弄符号，那么数学的实在感跑到哪里去了？ 

危机首先出现在几何研究中。18世纪，人们相信几何是科学的一个分支，是这个世界的真理，而欧几里得公理就是它的核心。但到了19世纪，人们发现，几何系统的新发展与欧几里得产生了分歧，人们开始怀疑，宇宙是否真的是欧氏的。在抽象系统的角度上，欧几里得几何是不是完备而自洽的，是有待于探讨一下的。

欧几里得原理，是否是一个完备的几何理论，此时还搞不清楚。那些关于点和线的概念，都是凭直觉得到的，还有些多余的假设也被用来做证明。从现代的观点看，有必要抽象化点和线的逻辑关系，用形式规则来描述它们，使它们不局限于特定的物理意义，展现抽象游戏本身的意义。如同希尔伯特所说：「我们应该同样可以用『桌子、椅子、酒杯』来描述问题，而不只是『点、线、面』」。

1899年，希尔伯特成功地提出一个公理体系，使他可以不依靠特定的实体，而推导出欧几里德的所有定理。然而，他的证明需要另外一个假设，那就是关于「实数」的理论。对于希腊数学家们来说，「实数」是对长度的测量值，它以可无限细分，最重要的是，假设「实数」在物理空间中是固定的。但是对于希尔伯特的观点来说，这并不够。

幸运的是，人们发现，还可以用另一种方式描述「实数」。到了19世纪，人们理解了「实数」还可以表现成无限小数，比如把π写成3.14159265358979……一个实数可以用这样的方式精确表达――整数的无限序列。直到1872年的时候，德国数学家戴德金精确展示了，如何用整数的语言来定义实数，而不需要测量。这一进步，统一了数字和长度的概念，也把希尔伯特的几何问题，转化成了一个算术领域的问题。正如希尔伯特所说，他把一切都归约到了尚待解决的算术公理相容性的问题。

在这一点上，不同的数学家有不同的看法。一种观点认为，讨论算术公理是荒谬的，没有什么比整数更原始低级了。而另一方面认为，当然可以讨论整数的基本属性是否存在一个核心，其它问题都是由这个核心衍生来的。戴德金同样解释了这个问题，他在1888年做出说明：所有的算术，都是由三个概念衍生来的：首先有数字1，其次每个数字都有一个后继，然后有一套归纳法，这使所有数字都能形式化描述。这些可以作为抽象原理写出来，如果你愿意，你同样可以用「桌子、椅子和酒杯」来描述，关于数字的所有理论，都可以由此推导，不需要考虑「1」和「+」这样的符号意味着什么。一年后，1889年，意大利数学家G.皮亚诺对此给出了标准化的公理。

1900年，希尔伯特对数学界提出23个未解决的问题，来作为对新世纪的问候。在这些问题中，第二个就是皮亚诺公理的相容性，他认为，数学的严格性皆取决于此。「相容性」是一个决定性的的词语，比如说，有的算术定理需要无数步来证明――比如拉格朗日定理：任一自然数都是四个平方数的和。谁能保证说，一直往下找，不会遇到矛盾？对于这种永远无法验证的事，凭什么来做出这种保证？那么皮亚诺的这套抽象规则，如何保证不会遇到矛盾？正如爱因斯坦质疑运动定理，希尔伯特现在要质疑2+2=4，至少说，他要求一个理由。

G.弗雷格在他1884年的《算术基础》中，就考虑了这个问题。他提出一种逻辑的观点，认为算术来自于实体的逻辑关系，它的相容性需要由现实世界中的基础来保证。对弗雷格来说，数字「1」有明确的意义，也就是一张桌子或一个酒杯所共同拥有的意义。如果说「2+2=4」，就必须保证任何两个东西和其它两个东西放在一起，一定会有四个东西。弗雷格的工作就是把「任何」「东西」「其它」这些概念抽象化，通过最基本的客观存在来构建算术。

然后伯特兰·罗素超越了弗雷格的观点，他通过引入「集合」的概念，把弗雷格的观点更加具体化。他的主张是，如果从一个集合中取出的物体总是相等的，那么就说，这个集合只含有一个元素。这样就可以用「相等」的概念来定义「一个」。同时，相等还可以定义为对任意谓词有同样的值域。这样来看的话，数字概念和算术公理就可以通过最原始的实体、谓词和命题而严格地推导出来。

不幸的是，事情并没有这么简单。罗素希望不通过计数，而是通过相等的概念，来定义单元素集合，然后再用「包含所有单元素集合的集合」来定义数字「1」。但是在1901年，罗素发现，这种「集合的集合」会引发逻辑矛盾。

这个问题就在于，自我指涉的结果，有可能导致自相矛盾，比如「这句话是谎言」。在德国数学家G.康托的无限理论中，也出现了类似的问题，罗素发现，康托悖论和集合论悖论是很类似的。他把集合分成两种，一类包含自己，一类不包含自己。罗素写道：「一般来说，集合不是自己的一个元素，比如人类的一个元素是一个人，但人类本身不是一个人。」然而，如果考虑抽象概念的集合，或者集合的集合，它就有可能是自己的一个元素。罗素接着说，这就有可能引发悖论：

考虑一个集合，它的元素是所有的「不属于自己的集合」，那这个集合本身属不属于它自己？如果它属于，那它就不是「不属于自己的集合」，所以它不属于；但如果它不属于，那它就是「不属于自己的集合」，又应该属于。无论它属不属于，都说不通，这就产生了矛盾。

这个悖论，无论集合代表什么，都是无法解决的。哲学家们可以长期讨论这个问题，爱多久就多久，但那些都与弗雷格和罗素要做的事情无关。这个理论的关键，是要通过一种确定的、严密的、普适的、无争议的方法，把算术问题从原始的逻辑中分离出来。你不用关心罗素悖论代表什么，它就是一组符号，这些符号本身，就能按照这个规则，无情地导致这个灾难性的矛盾。在任何一个纯逻辑系统里，都不能出现这样的自相矛盾。如果有人说2+2 = 5，那就能得出4=5，于是0=1，以至于任何数字都等于0，结果就是，任何等价于0＝0的命题，都是正确的。如果这样看的话，数学要么完全相容，要么就全是浮云。

在那十年中，罗素和A.N.怀特海，努力想要纠正这个错误。本质的困难是，现在已经证明，随便弄一堆物体就叫作集合，这会导致自相矛盾。我们需要更加精准的定义。罗素悖论并不是集合论唯一的困境，但只有它在《数学原理》中占了很大篇幅，这本1910年的权威著作，从原始逻辑中推导数学。罗素和怀特海提出的方法，是给不同的集合建立一套层次关系。先有原始的对象，然后有对象的集合，然后又有集合的集合，集合的集合的集合，等等。不同层次的集合，是不相同的，这样一来，一个集合就不可能包含它自己。但是，这又有了新的麻烦：本来想用这套理论来解释数字系统，结果现在这套理论过于复杂，比数字系统本身还复杂。不知道这是不是考虑集合和数字问题的唯一方法，在1930年，还有其它许多可供选择的方案，其中，冯·诺伊曼也提出了一套。

数学应该是一个完备的相容的整体，这个听起来不错的需求，打开了一个充满困难的潘多拉魔盒。一方面，数学命题看起来就像任何正确的东西一样正确。但另一方面，它表现的只是纸上的符号，一旦有人纠缠符号的意义，这些符号就会引起悖论。

正如「爱丽丝镜中奇遇」里面的花园，你越是走向数学的心脏，就越会迷失在纠结的森林中。数学符号和物质实体之间没有关联。罗素在书的结尾说：「以上不完全的考量表明，在这个学科中，还有无数问题没有解决，还有许多工作需要做。如果这本小书能够给予学生启发，对数理逻辑进行严肃的研究，那我写这本书的主要目的就达到了。」

德国科学家是这个领域的核心，甚至是整个科学界的核心。但是随着1933年的到来，希尔伯特所在的哥廷根毁掉了，核心变成了一个下水井盖。冯·诺伊曼远赴美国，不再回来，还有一些人则来到剑桥。波恩到了爱丁堡，薛定谔到了牛津，但是大部分逃亡科学家发现，还是美国比英国更欢迎自己。因此，普林斯顿大学的高级研究院，在这一时期飞速发展。当爱因斯坦1933年在那里居住时，物理学家朗之万评论道：「这是一个重大的事件，就像梵蒂冈走出罗马，走向新世界一样。物理学的磁极转移了，美国将会成为自然科学的中心。」

犹太人不光是种族受到了纳粹官方的干预，甚至还包括科学观点本身，比如在数学哲学领域：

最近一些数学家在柏林大学见面，讨论他们在第三德国的科研场所。他们宣称，德国数学家愿做浮士德。仅有逻辑基础对他们来说是不够的，德国人靠直觉产生无限的概念，这要比法国人和意大利人的逻辑方法优秀许多。数学是一门伟大的科学，它能减少混乱。社会主义的任务同样是减少混乱，所以根据直觉和逻辑的共同作用，他们和新秩序之间的「灵魂联结」已经建立了……

这让英国人很惊讶，一个政党居然也对数学感兴趣。

在这个时期，对《新政客》来说，希特勒对凡尔赛条约的仇视，印证了凯恩斯和狄更生总说的话。问题是，现在对德国公平，就意味着对暴行让步。保守的观点是，新的德国对英国来说，是一个潜在的威胁，但它同时也是一个对抗苏联的堡垒。1933年11月，剑桥再度掀起反战热潮。

爱丁顿，一个贵格会教徒，一个和平主义者和国际主义者，爱丁顿谈到测量结果的分布，以及它的图象，术语叫作「正态曲线」。比如说，果蝇的翼展会趋向于一个中心值，并且以一种特定的方式，向两端逐渐消失。为什么这会这样，是概率与数理统计中的一个关键问题。爱丁顿给出了一份大纲，解释为什么会这样。

纽曼将近四十岁，与J.H.C.怀特海一起，作为英国拓扑学最著名的倡导者。这个数学分支是研究几何的抽象结果，那些不需要测量的概念，比如连接，边，相邻等等。在古典几何学占据主流的剑桥，纽曼象征着一个不断前进的新力量。

拓扑学的基础是集合论，所以纽曼也致力于集合论的基本原理。他也参加了1928年数学家大会，就是希尔伯特代表1924年被排除在外的德国的那一场。希尔伯特主张重新探索数学的基础。纽曼的课程，就是继承希尔伯特的精神来讲的，而不是罗素的逻辑方法。确实，罗素的传统已经渐渐衰弱了，因为1916年他首次被逮捕，并被剥夺了在三一学院的教席，于是他就离开剑桥了。在他的同行中，维特根斯坦转向另一个不同的方向，哈瑞·诺顿发疯了，而弗兰克·拉姆齐在1930年死了。这使纽曼成为剑桥唯一一个对现代数学逻辑有深刻认识的人，当然，还有一些人对这些方法感兴趣，包括布列斯威特和哈代。

希尔伯特的计划，本质上是他19世纪90年代开始的工作的拓展。它并不急于解答弗雷格和罗素的问题，也就是数学到底是什么。一方面，这样就不那么哲学化，不那么让人吃力。另一方面，罗素的那个艰难的困境实际上很难解决。希尔伯特提出的问题主要是，在原则上，《数学原理》的限制是什么。有没有一种方法，来判断什么可以被这套理论证明，而什么不可以。希尔伯特的方法，叫作形式主义，它把数学看成一套形式规则。允许的证明步骤，就好比国际象棋中允许的走法，而公理就好比是开局时的摆法。在这个类比中，「下国际象棋」就相当于「做数学」，只是把国际象棋的命题（比如『两个马将不死对方』）换成数学命题。希尔伯特计划，就是考虑这样的命题。

在1928年的大会上，希尔伯特明确提出了他的问题。第一，数学是完备的吗？是不是每个命题（比如『任意自然数都是四个平方数的和』）都能证明或证伪。第二，数学是相容的吗？也就是说，用符合逻辑的步骤和顺序，永远不会推出矛盾的命题，比如2+2 = 5。第三，数学是可判定的吗？他的意思是，是否存在一个机械式的方法，可以应用于任何命题，然后自动给出该命题的真假。

在1928年，这些问题都不能得到解答。但希尔伯特的观点是，每个回答都将会是「是」。早在1900年，希尔伯特宣布「所有数学问题都是有解的……没有数学照耀不到的角落」。当他1930年退休时，他研究得更深入了：

举一个不可解问题的例子来说，哲学家孔德曾经认为，科学永远无法给出宇宙的化学成分。但没过几年，这个问题就被解决了……在我看来，孔德找到一个不可解的问题的真正原因在于，这种不可解的问题压根就不存在。

这个观点，比实证主义者还要激进。但就在这同一个大会上，一个年轻的捷克数学家，柯特·哥德尔的宣布，给了他当头一击。

哥德尔能够证明，算术一定是不完备的：存在既不能证明，也不能证伪的命题。他从皮亚诺的整数公理开始，经过集合层次理论的拓展，使这个系统可以代表整数的集合、整数的集合的集合，等等。总之，他的论点可以应用到任何涵盖了算术公理的形式系统，与其公理本身的内容无关。

接着他展示了，所有的证明，那些像国际象棋一样的逻辑演算规则，它们自己本质上就是算术的。也就是说，它们只是通过计数和比较这种操作，来判断一个命题是否能被另一个命题替代――就像判断棋子的移动是否合法，只是计数和比较而已。实际上，哥德尔表明，可以对这个系统进行编码，这样就可以用数字来表示关于数字的命题。这是他的核心想法。

哥德尔继续展示，如何把证明编码，以便整个算术系统都能用算术的方式描述。这个扩展基于这个事实：如果数学是一个纯粹的符号游戏，那就可以把符号全部换成数字。他能够说明，「是一个证明」或「是可证明的」这样的性质，跟「是平方数」或「是素数」一样算术化。

这个编码的结果是，人们能够写出自我指涉的算术命题，比如那个人说「我这句是说谎」。哥德尔确实构建了一个具有这样的性质的命题，他说，「这个命题是不可证明的」。这个命题既无法证明，也无法证伪，因为它会导致自相矛盾。一个命题用公理进行逻辑推演，却既不能证明，也不能证伪，所以，对于希尔伯特的问题来说，哥德尔已经证明，算术是不完备的。

还有，哥德尔的特殊命题还有一个明显的问题。因为它是不可证明的，所以从某种意义上来说，它永远是真的。但如果要说它是「真」的，就需要一个外部的观察者，从这个系统之外来看待。你不能在这个公理系统内部来表明这一结论。

另外一点是，这个论点假设了算术是相容的。实际上，如果算术不是相容的，那么每个命题都可以被证明。所以更确切地，哥德尔表明，一个形式算术系统，要么不完备，要么不相容。他也能够说明，算术在它自身的公理系统中，可以证明是相容的。要做到这一点，需要这样一个证明：存在一个不能被证明为「真」的命题（比如2 + 2 = 5）。哥德尔能够说明，这样的命题，与宣布自己不可证明的句子，本质上是一样的。这样一来，他解决了希尔伯特的前两个问题。算术无法被证明是相容的，而且一定不是既完备又相容的。这是数学发展中的一个惊人的转折，因为希尔伯特已经认为，他的计划已经准备收尾了。这使那些想要在数学中找到绝对完美的人们感到沮丧，它意味着，有新的重大问题出现了。

纽曼的课程就以证明哥德尔定理作为结束，因此把艾伦带到了学术界的前沿。希尔伯特的第三个问题仍然悬而未决，哥德尔的结论，并不排除存在某种方法，可以区分一个命题是否可被证明。也许相当古怪的哥德尔式主张可以以某种方式被分开。正如纽曼所说，有没有一个明确的方法，可以用一个机械的过程，来判断一个数学命题是否可以证明呢？

从某种角度来说，这是一个很高的要求，直奔当前数学界所有知识的核心。比如哈代在1928年相当愤慨地说：

很幸运，当然不存在这样的方法，否则如果存在，那我们就有了一套机械的规则，来解决所有的数学问题，而我们的数学家生涯也就走到尽头了。

有很多关于数字的命题，是经过了几个世纪的努力，也没有成功地证明或证伪的。比如费马大定理，说任意立方数都不能表示为两个立方数的和，任意四次幂也不能表示为两个四次幂的和，等等。还有哥德巴赫猜想：任意偶数都是两个素数的和。很难相信，这些顽强的命题，可以被一套规则自动证明。另外，那些已经得到解决的难题，比如四平方数定理，极少有被「机械的规则」证明的，往往都是通过创造性推演，或者构建新的抽象代数概念。哈代说：「只有完全不懂数学的人，才会相信有一台超自然的机器，数学家们只要转动他的摇把，就能得到新的发现。」

从另一方面来说，数学的发展确实给「机械方法」的问题带来了越来越多的麻烦。哈代也许会说，这些发展「显然」还不是整个数学，但是自从有了哥德尔的定理，没有什么东西的是「显然」的。这个问题需要更加严格的分析。