第一课时 平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标：
1、以物理中“功”等实例，认识平面向量数量积的含义及其物理意义，
2、通过对向量投影定义和平面向量的数量积几何意义的学习，体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
3、通过对平面向量数量积的性质、运算律的探究，体会类比与归纳、对比与辨析、定义与证明等数学方法，正确熟练的应用平面向量数量积的定义、性质、运算律进行运算。
学习重点： 平面向量数量积的概念、性质的发现与论证；正确熟练的应用平面向量数量积的定义、性质、运算律进行相关运算。
学习难点：平面向量数量积、向量投影及运算律的理解
学习过程：
一、知识链接
在物理中，我们学习了功。我们知道，如果一个物体在
力的作用下产生位移，那么力所做得功为：
（其中是与的夹角）
二、新识探究
思考：从数学的角度思考上述问题：功是一个 ，它由力和位移两个 向量的 和 来确定。我们可以把“功”看成是两个向量和运算的结果。
1、向量的数量积（内积）的定义：已知两个 向量与，
我们把 叫做与的数量积（或内积），
记作 ，即： ，
其中是 。
2、 叫做向量在方向上（向量在方向上）的投影，
如图： .
说明：（1）规定：零向量与任一向量的数量积为；
（2）向量的数量积是一个 ，其大小与 有关，而向量线性运算的结果是一个 ；
（3）投影是一个数量，而不是向量.
向量在方向上的投影： ；
向量在方向上的投影： ；
（4）正确吗？为什么？
3、向量数量积的几何意义
.[来源:Z,xx,k.Com]
4、向量数量积的性质：设与是两个非零向量，向量是与向量同向的单位向量，是与的夹角，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
（1） ；
（2） ；
（3）与同向时， ；与反向时， ；特别地 ， ，即 ；
（4） ；
（5）
5、数量积的运算律：
（1）交换律
（2）数乘结合律
（3）分配律
常用性质： ；
；
.
；
推导:
三、知识应用
例1、已知，.
（1）与的夹角是时，求① ② ③.
（2）若
例2、已知，，与的夹角是，求.
例3、若，，与不共线，为何值时，+与-互相垂直？
四、课堂小结：
1、两个向量的数量积是 ，而不是数量，其符号仅由两个向量的 决定；
2、向量的数量积是论证垂直和求模长的重要工具，牢记夹角公式和模长公式；
如下对于两个非零向量与，其夹角为，则有：
向量数量积公式
向量在方向上的投影
向量垂直的判定
向量模长公式
向量夹角公式
3、牢记向量运算律：
交换率
数乘结合律
分配率
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