一片雪花的周长和地球的直径哪个更长？这看似是一个显而易见的问题。但是，它其实蕴含了一个深刻的数学原理——分形几何。
一.英国的海岸线有多长？
1967年，美国数学家曼德布罗在美国权威期刊《科学》上发表了一篇论文，题目是《英国的海岸线有多长》。很多年以前，人们就发现了一个奇怪的现象：不同国家的测量机构对英国的海岸线测量数值相差很大，有人提出：这是因为在测量过程中“尺子”的大小不同造成的。曼德布罗重新研究了这个问题，得出了一个惊人的结论：英国海岸线的长度可以是无限的。
为什么这么说呢？我们知道，英国的海岸线非常崎岖，如果我们用卫星进行测量，相当于用一个很巨大的尺子，这样就会忽略海岸线上很多崎岖的细节，测量出的结果就比较小。但是如果我们让一个人沿着海岸线走一圈，他就会走过海边的礁石和沙滩，穿越海边的丛林，会发现很多卫星上看不到的细节，测量的结果就会变大。假如我们让一只蚂蚁爬过英国的海岸线，因为蚂蚁的身体更小，它就会发现更多人观察不到的细节，例如海边的一块小石头，一个易拉罐，甚至一粒沙子，造成测量的结果更大。
不同的尺子，测量结果不同
于是，假如我们让尺子无限缩小，英国的海岸线长度就会变成无穷大。1975年，曼德布罗提出了分形“分形”这个词，来描述这种神奇的问题。
二.科赫雪花
其实，曼德布罗并不是最早研究分形几何的数学家。比他早100年的数学家康托尔就已经研究过类似的“康托尔集合”。在这一百年中，数学家们提出过各种各样的分形几何图形，其中最为著名的是数学家科赫提出的“科赫雪花。”
1904年，瑞典数学家科赫提出了一种图形：将一个正三角形的每条边平分为三份，再以每条边中间的一份为边，向外做正三角形，这个过程称为一次迭代。
一次迭代
经过一次迭代，正三角形变为了12条边。我们再将每条边平分成三份，向外做更小的正三角形，称为二次迭代。然后不停地重复这个过程，直到无限次迭代，就形成了科赫雪花。
2次、3次迭代
科赫雪花的周长有多大呢？设最开始的三角形边长为1，经过一次迭代，每条边的边长都变为了原来的4/3，所以周长会变为原来的4/3。经过N次迭代，周长就变为
当迭代次数无穷多，N无限大时，科赫雪花的周长就会变为无穷大——这是因为它的边非常的崎岖。相比来讲，地球虽然看起来比雪花大很多，但是它的直径却是一个有限值——大约12800km。雪花的周长比地球直径还要大。
地球直径
科赫雪花的周长是无限长，但是面积是有限的——这是显而易见的，因为可以用一个圆形把雪花罩住，所以雪花的面积小于圆形的面积。
科赫雪花面积是有限的
具体来讲：最初的正三角形有三条边，迭代时每一条边都会变为4条边，所以经过N-1次迭代之后总边数为
进行第N次迭代时，雪花的每条边都会向外凸起，形成新的小三角形。设最初的三角形面积为1，每次迭代构造的小三角形边长为原来三角形的1/3，面积是原来三角形的1/9，所以进行第N次迭代时，生成的每个小三角形面积为：
所以，第N次迭代增加的所有小三角总面积为：
于是经过无限次迭代，可以利用等比数列求和得到雪花的总面积为
总面积比原来增加了60%。
三.谢尔宾斯基地毯
除了科赫雪花，还有一种比较有名的分形结构——谢尔宾斯基地毯。它是由波兰数学家谢尔宾斯基在1916年提出的。
谢尔宾斯基地毯的构造方法是：将一个正方形均分为9个小正方形，再将中间的正方形去掉，称为一次迭代。然后对余下的8个小正方形做同样操作，直到无限次。
构造谢尔宾斯基地毯
这个图形看起来无限镂空，我们很容易计算它的面积：每次迭代时，去掉的黑色部分都占白色部分面积的1/9，所以余下白色面积的 8/9。设最初白色正方形面积为1，经过N次迭代之后剩余的白色面积为
我们发现，只要迭代次数无穷多，这张地毯的面积是趋近于0的，这和科赫雪花周长趋向于无穷大有异曲同工之妙。
四.自相似性
分形结构最大的特点是自相似性：当我们拿出图形的一部分时，它与整体的形状完全一样，只是大小不同。例如，我们把谢尔宾斯基地毯右上角的小方块拿出来，它和整体是相似的。再从其中拿出更小的方块，依然和整体是相似的。
谢尔宾斯基地毯自相似性
同样，我们可以把科赫雪花不停地放大、再放大，无论多小的一小段，雪花都依然保持了和原来一模一样的崎岖结构。
科赫雪花自相似性
五.分形图案的维度
我们知道：直线是1维的，平面是2维的，空间是3维的，这称为拓扑维度。不过要表示分形图案的维度，我们需要用到另一个概念——豪斯多夫维度，它是德国数学家豪斯多夫在1918年提出的，所描述的刚好是自相似图形的特点。
豪斯多夫维度的定义是：如果能把一个图形按照1：m的比例分割，最后分出n份，那么豪斯多夫维度就是
比如，将一条线段分成按照1：2的比例分割，就能分割成2份。于是线段的豪斯多夫维度是log2_2=1；把一个正方形按照1：2的比例分割，就能分割成4份，所以正方形的豪斯多夫维度是log2_4=2；把一个立方体按照1：2的比例分割，就能分割成8份，立方体的豪斯多夫维度是log2_8=3。
分割图形
按照这样的规律，我们可以计算出科赫雪花和谢尔宾斯基地毯的维度。科赫雪花每次迭代时相似比为1：3，而且分出了4份，所以豪斯多夫维度为log3_4=1.26；谢尔宾斯基地毯中的每一小块与全体的相似比为1：3，每张地毯可以分出8个小块，因此豪斯多夫维度是log3_8=1.89。
分形曲线的维度居然不是整数，真是匪夷所思！
科学家们还发现：现实生活中小到一片叶子，大到一个星球，它的表面都是崎岖不平的。曾经，我们研究的几何学都是以光滑的曲线和平面为基础，研究分形结构有助于我们更好的认识真实的世界。
菜花的分形结构
艺术家们还构造出了许许多多的分形结构，给我们一种深邃之美。
分形艺术
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