任意四面体的外接球半径公式

若四面体ABCD中，∠CAD=α，∠CBD=β，二面角A−CD−B的大小为θ，CD=2m，则其外接球半径R=msinαsinβsinθ⋅√1−(cosαcosβ+sinαsinβcosθ)2.

证明如图，设O为四面体ABCD的外接球球心，M为CD的中点，O在平面ACD,BCD上的投影分别为P,Q，连接OP,OQ,MP,MQ．

显然，P,Q分别是△ACD和△BCD的外心，于是PM⊥CD，QM⊥CD，∠PMQ是二面角A−CD−B的平面角．由于OC=OD，于是OM⊥CD，进而O,P,M,Q四点共面，且有PM=mcotα,QM=mcotβ,∠PMQ=θ.

如图，延长QO,MP交于点T，则由OPQM=TPTQ

可得OP=msinθ⋅(cotα−cotβ⋅cosθ),

又PC=msinα,

因此由R2=OC2=OP2+PC2,

代入OP,PC的值，整理可得R=msinαsinβsinθ⋅√1−(cosαcosβ+sinαsinβcosθ)2.

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