二项式定理是数学中应用比较广泛的定理,用现在的数学观点来看它,虽然非常简单,但它的出现也极大的推动了数学的发展进程,解决了许多遗留的数学问题,这个枯燥的公式就是如下形式
本篇我们避开复杂的数学推导,用简单的几何图形来表示二项式,三项式,四项式的本质原理,简单直观容易理解
下图是一个单位正方形面积图示:(x+y)^1=x+y,一边是x+y=1,一边是单位长度1,一个矩形的面积是x,一个矩形的面积是y
这是一个有关(x+y)^2= x^2+y^2+2xy的几何图形:一个是面积x^2,一个是面积y^2,再加上两个面积xy的矩形
如果我们换一种表示方法:如下是(x+a)(x+b)的示意图
如下是(X+Y)^3的几何图示,其中X+Y=1,在这里是把单位正方形拆分成8个矩形,其中一个面积是X^3,一个面积是Y^3,三个区域的面积是XY^2,三个区域的面积是X^2Y
(x+y)^3 =x^3+3xy^2+3x^2y+y^3
如果我们用立体几何的形式来表示(X+Y)^3,就是如下样式:
如下立体图则表示的更为直观
我们继续讨论(X+Y)^4的几何原理,同样的道理,把正方形进行拆分,一个面积是X^4,一个面积是Y^4,四个区域的面积是X^3Y,四个区域的面积是XY^3,剩余6个正方形的面积是X^2Y^2
随着次数的增加,图形会变得越来越复杂,但这种可视化原理是非常美妙的
接着我们增加一定的难度:如下是一个三项式(a+b+c)^2的几何表示方法,
这个三项式的每个项与图形所划分的面积完全对应,非常直观
四项式(a+b+c+d)^2的几何表示方法,虽然多项式的项数增加了,但对应的几何图形却显得更为形象直观
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