“不可不知”函数的性质及公式

有界性

设函数f(x)在区间X上有定义，如果存在M>0,对于一切属于区间X上的x，恒有|f(x)|≤M，则称f(x)在区间X上有界，否则称f(x)在区间上无界。

单调性

设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

奇偶性

设 为一个实变量实值函数，若有 f(-x)= - f(x) ，则 f(x) 为 奇函数 。几何上，一个奇函数关于 原点 对称，亦即其图像在绕原点做 180 度旋转后不会改变。奇函数的例子有 x 、 sin(x) 、 sinh(x) 和 erf(x) 。设 f(x) 为一实变量实值函数，若有 ，则 f(x) 为 偶函数 。几何上，一个偶函数关于 y 轴对称，亦即其图在对 y 轴映射后不会改变。偶函数的例子有 |x| 、 x2 、 cos(x) 和 cosh(x) 。偶函数不可能是个双射映射。

周期性

设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任一 有 ，且 f(x T)=f(x)恒成立 ，则称 f(x) 为 周期函数 ， T 称为 f(x) 的周期，通常我们说周期函数的周期是指 最小正周期 。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界 区间 ，若 D 为有界的，则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如 狄利克雷函数 。

周期函数有以下性质：

（1）若T（T≠0）是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期。

（2）若T（T≠0）是f(x)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(x)的周期。

（3）若T1与T2都是f(x)的周期，则 也是f(x)的周期。

（4）若f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）T*是f(x)的最小正周期，且T1、T2分别是f(x)的两个周期，则T1/T2∈Q（Q是有理数集）

（6）若T1、T2是f(x)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(x)不存在最小正周期。

（7）周期函数f(x)的定义域M必定是双方无界的集合。

连续性

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

设f是一个从实数集的子集射到的函数：f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：

f在点c上有定义。c是其中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。

不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性。

仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立：

对于任意的正实数，存在一个正实数δ> 0 使得对于任意定义域中的δ，只要x满足c - δ< x < c δ，就有成立。

凹凸性

设函数 在 I 上连续。如果对于 I 上的两点 ，恒有 ， 那么称第一个不等式中的 是区间 I 上的 凸函数 ；称第二个不等式中的 为严格凸函数 [4] 。同理如果恒有 ， 那么称第一个不等式中的 是区间 上的 凹函数 ；称第二个不等式中的 为严格凹函数 。

大波公式、知识来袭！

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