常规典型,落入俗套
【题目】
(2018·娄底)如图,抛物线y=ax² bx c与两坐标轴相交于点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3),D是抛物线的顶点,E是线段AB的中点.
(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
(2)F(x,y)是抛物线上的动点:
①当x>1,y>0时,求△BDF的面积的最大值;
②当∠AEF=∠DBE时,求点F的坐标.
【答案】
解:(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=ax² bx c,
a-b c=0,9a 3b c=0,c=3,解得:a=-1,b=2,c=3,
∴抛物线的解析式为y=﹣x² 2x 3.
∵y=﹣x² 2x 3=﹣(x﹣1)² 4,
∴顶点D的坐标为(1,4).
备注:求解析式用待定系数法,配方法或代入顶点坐标公式求顶点坐标。
(2)①过点F作FM∥y轴,交BD于点M,如图1所示.
设直线BD的解析式为y=mx n(m≠0),
将(3,0)、(1,4)代入y=mx n,
3m n=0,m n=4,解得:m=-2,n=6,
∴直线BD的解析式为y=﹣2x 6.
∵点F的坐标为(x,﹣x² 2x 3),
∴点M的坐标为(x,﹣2x 6),
∴FM=﹣x² 2x 3﹣(﹣2x 6)=﹣x² 4x﹣3,
∴S△BDF=1/2FM·(yB﹣yD)=﹣x² 4x﹣3=﹣(x﹣2)² 1.
∵﹣1<0,
∴当x=2时,S△BDF取最大值,最大值为1.
备注:三角形面积最大值。
二次函数图象中的面积问题
坐标系中三角形面积公式
②过点E作EN∥BD交y轴于点N,交抛物线于点F1,在y轴负半轴取ON′=ON,连接EN′,射线EN′交抛物线于点F2,如图2所示.
∵EF1∥BD,
∴∠AEF1=∠DBE.
∵ON=ON′,EO⊥NN′,
∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE.
∵E是线段AB的中点,A(﹣1,0),B(3,0),
∴点E的坐标为(1,0).
设直线EF1的解析式为y=﹣2x b1,
将E(1,0)代入y=﹣2x b1,
﹣2 b1=0,解得:b1=2,
∴直线EF1的解析式为y=﹣2x 2.
联立直线EF1、抛物线解析式成方程组,y=-2x 2,y=-x² 2x 3,
解得:x_1=2-√5,y_1=2√5-2,x_2=2 √5,y_2=-2√5-2(舍去),
∴点F1的坐标为(2﹣√5,2√5﹣2).
当x=0时,y=﹣2x 2=2,
∴点N的坐标为(0,2),
∴点N′的坐标为(0,﹣2).
同理,利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2.
联立直线EF2、抛物线解析式成方程组,y=2x-2,y=-x² 2x 3,
解得:x_1=-√5,y_2=-2√5-2,x_2=√5,y_2=2√5-2(舍去),
∴点F2的坐标为(﹣√5,﹣2√5﹣2).
综上所述:当∠AEF=∠DBE时,点F的坐标为(2﹣√5,2√5﹣2)或(﹣√5,﹣2√5﹣2).
备注:∠DBE是定角,过点E作BD的平行线可得一个点,再对称到x轴下方,又可得一个点。利用平行与对称得到斜率的关系求解析式,再与抛物线联立即可。
或者作垂线构造相似亦可得结论。
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