数列复习思维导图

数列性质：等差数列

1．等差数列判定方法

(1)an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；

(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；

(3)an＝kn＋b(k，b为常数)⇔{an}是等差数列；

(4)Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．

2、等差数列的性质

(1)在等差数列中，an＝am＋(n－m)d，d＝n－m(an－am)；

(2)当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋2(n(n－1))d＝2(d)n2＋2(d)n是关于n的二次函数，常数项为0.

(3)若公差d>0，则为递增等差数列，若公差d<0，则为递减等差数列，若公差d＝0，则为常数列．

(4)当m＋n＝p＋q时，有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.

(5)若{an}是等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列．

(6)在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S2n－1＝(2n－1)·a中(这里a中即an)；S奇∶S偶＝(k＋1)∶k.

(7)若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且Bn(An)＝f(n)，则bn(an)＝(2n－1)bn((2n－1)an)＝B2n－1(A2n－1)＝f(2n－1)．

(8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和．法一：由不等式组an＋1≤0(an≥0，)an＋1≥0(an≤0，)确定出前多少项为非负(或非正)；法二：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性，即n∈N*.

(9)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．

【注意】 公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究的应该是an＝bm.

（10）等差数列{an}则{}也是等差数列，是以a1为首相公差的一半为公差

等比数列

1．等比数列判定方法

(1)an(an＋1)＝q(q≠0)⇔{an}是等比数列；

(2)an＝c·qn(c，q均是不为零的常数)⇔{an}是等比数列；

(3)an＋1(2)＝an·an＋2(an＋1≠0)⇔{an}是等比数列．

（4）Sn= aq n -a

2．等比数列的性质

(1)在等比数列中，an＝amqn－m，q＝am(an)；

(2)当m＋n＝p＋q时，有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝ap(2).

(3)若{an}是等比数列，且公比q≠－1，则数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也是等比数列．当q＝－1，且n为偶数时，数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是常数列0，它不是等比数列．

(4)若a1>0，q>1，则{an}为递增数列；若a1<0，q>1，则{an}为递减数列；若a1>0,0<q<1，则{an}为递减数列；若a1<0,0<q<1，则{an}为递增数列；若q<0，则{an}为摆动数列；若q＝1，则{an}为常数列．

3、等比数列通项公式及求和公式