小学奥数专项训练——数论
一、填空题
1．三个连续偶数，中间这个数是m，则相邻两个数分别是__________和__________。
2．有一种三位数,它能同时被2、3、7整除,这样的三位数中,最大的一个是__________，最小的一个是__________。
3．小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是__________岁和__________岁。
4．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是__________。
5．2310的所有约数的和是__________。
6．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有__________个。
7．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？__________。
8．黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13…擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998，那么擦去的奇数是__________。
9．一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3。它除以13，商的第200位（从左往右数）数字是__________，商的个位数字是__________，余数是__________。
10．在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有__________个。
11．设n是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数（例如：123的反序数是321），则n＝__________。
12．555555的约数中，最大的三位数是__________。
13．设a与b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有__________种不同的值。
14．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，……，13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有__________个。
15．一列数1，2，4，7，11，16，22，29，…这列数的组成规律是第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推。那么这列数左起第1992个数除以5的余数是__________。
16．两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是__________。
17．将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，得到的和恰好是某个自然数的平方，这个和是__________。
18．100以内所有被5除余1的自然数的和是__________。
19．9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多__________个。
20．如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是__________。
21．两个数的最大公约数是21，最小公倍数是126。这两个数的和是__________。
22．甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是__________。
23．一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是__________。
24．有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是__________。
25．两个整数相除得商数是12和余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是__________。
26．在1×2×3×…×100的积的尾部有__________个连续的零。
27．有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的这样的四位数，从小到大排列起来，第5个数的末位数字是__________。
28．一些四位数，百位数字都是3，十位数字都是6，并且他们既能被2整除又能被3整除。甲是这样四位数中最大的，乙是最小的，则甲乙两数的千位数字和个位数字（共四个数字）的总和是__________。
29．把自然数按由小到大的顺序排列起来组成一串数：1、2、3、…、9、10、11、12、…，把这串数中两位以上的数全部隔开成一位数字，组成第二串数：1、2、…、9、1、0、1、1、1、2、1、3、…。则第一串数中100的个位数字0在第二串数中是第__________个数。
30．某个质数与6、8、12、14之和都仍然是质数，一共有__________个满足上述条件的质数。
31．已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300。那么满足上述条件的自然数a、b、c共有__________组。（例如a＝12，b＝300，c＝300，与a＝300，b＝12，c＝300是不同的两个自然数组）
32．从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行。从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列。那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是__________。
33．在1，9，8，9后面写一串这样的数字：先计算原来这4个数的后两个之和8＋9＝17，取个位数字7写在1，9，8，9的后面成为1，9，8，9，7；再计算这5个数的后两个之和9＋7＝16；取个位数字6写在1，9，8，9，7的后面成为1，9，8，9，7，6；再计算这6个数的后两个之和7＋6＝13，取个位数字3写在1，9，8，9，7，6的后面成为1，9，8，9，7，6，3。继续这样求和，这样填写，成为数串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4…那么这个数串的前398个数字的和是__________。
二、判断题
1．两个连续整数中必有一个奇数一个偶数。 （ ）
2．偶数的个位一定是0、2、4、6或8。 （ ）
3．奇数的个位一定是1、3、5、7或9。 （ ）
4．所有的正偶数均为合数。 （ ）
5．奇数与奇数的和或差是偶数。 （ ）
6．偶数与奇数的和或差是奇数。 （ ）
7．奇数与奇数的积是奇数。 （ ）
8．奇数与偶数的积是偶数。 （ ）
9．任何偶数的平方都能被4整除。 （ ）
10．任何奇数的平方被8除都余1。 （ ）
11．相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。（ ）
12．任何一个自然数，不是质数就是合数。 （ ）
13．互质的两个数可以都不是质数。 （ ）
14．如果两个数的积是它们的最小公倍数，这两个数一定是互质数。（ ）
三、计算题
1．能不能将（1）505；（2）1010写成10个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。
2．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？
（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？
3．请将1，2，3，…，99，100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互质（若一行写不下，可移至第二行接着写，若第二行仍写不下，可移至第三行接着写）。
4．一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13。求所有满足条件的自然数。
5．有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张。相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这12张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片。然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。六名同学交上来的答案分别为：92、125、133、147、158、191。老师看完6名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了。问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？
6．有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。（说明理由）
7．求小于1001且与1001互质的所有自然数的和。
8．三张卡片，在它们上面各写一个数字（如图）。从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数都写出来。
9．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……。问：这串数的前100个数是（包括第100个数）有多少个偶数？
10．从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12。
11．有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）
12．一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到一个商是a（见短除式（1））。又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，紧后得到一个商是a的2倍（见短除式（2）），求这个自然数。
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