第30讲 摘要：数学解题的实践表明，当直接下手有困难时，化直接为间接就往往是最佳选择。化直接为间接是逆反原则的具体体现，它在解题中的作用充分体现了逆反原则的重要性，与此策略思想相适应的数学间接证法，指的是不从正面认定命题的正确性，而是通过证明其反面论题为假，或改证它的等价命题为真来间接证明原命题。间接证法包括反证法与同一法两种。
反证法是根据原命题与它的逆否命题等价这一事实，从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。反证法的解题步骤分为三步：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，下结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在数学解题中，起始性命题、否定性命题和唯一性命题常常可应用反证法。
所谓同一法，就是当命题符合同一原理，要证明某图形具有某种特殊性质而不易直接证明时，可先作一个具有这一特殊性质的图形，然后证明所作的图形和原命题所要证明的图形是同一的，这种证法叫同一法。同一法的逻辑是逻辑学中的“排中律”。若以证几何题目为例，同一法的解题步骤可分为四步：
第一步：不从已知条件入手，而是另作图形，使它具有求证结论的特征；
第二步：证明所作的图形特征与已知条件相符；
第三步：因为已知条件和求证的结论所指的事物都是唯一的，从而推出所作的图形与已知条件要求是相同的；
第四步：断定原命题成立。
根据同一法与反证法的意义，我们不难得出结论，凡能用同一法证明的命题都可以用反证法证明，反之却不然。在立体几何中，证明“某图形具有某特性”，如果符合同一法则，可考虑使用同一法；证明有关“唯一性”“否定性”命题，或者命题结论的反面将会使结论更具体、明确、简单，可考虑使用反证法。在实际应用过程中，我们要把握好二者的区别和联系，将其应用到适合的场景中。
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