八年级|“数的开方”考点精细解读

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第11章数的开方

11．1 平方根与立方根

知识点1：平方根

1．平方根的定义

一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作： ±

\sqrt{a}\

（a叫做被开方数）

特别提醒

（1）求带分数的平方根时，应先将带分数化为假分数；

（2）对于含有乘方运算的数，应先求出它的结果，再求其平方根；

（3）正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根．

2．平方根的性质：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根．

3．开平方：求平方根的运算叫做开平方．

特别提醒

1．平方根是开平方的结果；

2．开平方与平方互为逆运算．

知识点2：算术平方根

1．定义：

正数a的正的平方根

\sqrt{a}\

叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．即a的算术平方根为

\sqrt{a}\

且a≥0 ；

2．性质：

（1）a的算术平方根

\sqrt{a}\

具有双重非负性，即：

\sqrt{a}\

≥0，且 a≥0．

（2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根

3．重要公式：

(1)(

\sqrt{a}\

)²＝a（a≥0）；．

(2)

\sqrt{{a}^{2}}

＝|a|

4．11~20的平方：11²=121，12²=144，13²=169，14²=196，15²=225，16²=256，17²=289，18²=324，19²=361

5．算术平方根的近似值：

\sqrt{2}\

≈1．414，

\sqrt{3}\

≈1．732，

\sqrt{5}\

≈2.236等

知识点3：立方根

1．定义

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根， a的立方根记作

{\sqrt[{3}]{{a}}}\

（a叫做被开方数，3叫根指数）

2．性质

（1）正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0．

（2）立方根等于本身的有3个，分别±1，0；

3．常用的公式

（1）

{\sqrt[{3}]{{{a}^{3}}}}=a\

；

（2）

{{\left({{\sqrt[{3}]{{a}}}}\right)}}^{3}=a\

；

（3）

{\sqrt[{3}]{{−a}}}=−{\sqrt[{3}]{{a}}}\

；

特别提醒

(1)非负数a的平方根是±√a，算术平方根是√a.(2)不要把“√

a”当做是a的平方根．

(3)只有非负数才有平方根，但任意实数都有立方根．

11．2 实数

知识点1：无理数

1．无理数：无限不循环的小数．

2．无理数的三种常见类型

①根号型；

②

π\

型；

③有规律但不循环的无限小数，例如：1．010010001···（每两个1之间依次增加一个0）

知识点2：实数的分类

1．实数：有理数和无理数统称为实数．

2．按定义分类：

3．按正负性分类：

知识点3：实数与数轴上的点的关系

1．数轴上的任一点必定表示一个数，即它所表示的数，不是有理数，就是无理数；反之，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示，即实数与数轴上的点一一对应．

2．实数的大小比较：

（1）正数> 0 > 负数；

（2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大；

（3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大．

（4）求差比较法

设a，b是两个任意实数，则a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．

（5）求商比较法

设a，b是两个正实数，则ab＞1⇔a＞b；ab＝1⇔a＝b；ab＜1⇔a＜b．

（6）平方比较法

设a，b是两个负实数，则a²＞b²⇔a＜b；推论：a＞b⇔a²＞b²(b≥0)．

知识点4：实数的运算

1．实数中的相反数、绝对值、倒数的概念和有理数中是类似的

（1）相反数

定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即实数a的相反数是－a．

性质：

(1)若a，b互为相反数⇔a＋b＝0；

(2)0的相反数是0；

(3)数轴上表示相反数(0除外)的两个点在原点两侧，且到原点的距离相等，即这两个点关于原点对称．

（2）绝对值

定义：在数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|．

性质：一个正实数的绝对值是本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．绝对值具有非负性．

（3）倒数

定义：乘积是1的两个数互为倒数，非零实数a的倒数是

\frac{1}{a}\

．

性质：

①ab＝1⇔a，b互为倒数；

②0没有倒数；

③倒数等于它本身的数是±1．

2．实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用．

3．实数的混合运算顺序：

(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)有括号的先算括号里面的；(3)同级运算按从左到右的顺序进行计算

知识点5：常见的非负数及其应用

1．常见的几种非负数：|a|，a²ⁿ(n为正整数)，

\sqrt{a}\

．

2．非负数的应用：

（1）若a²≤0，则a＝0；

（2）若a＋|b|＝0，则a＝0，b＝0；

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