中考数学压轴题分析：中点与正方形手拉手问题

本文内容选自2021年宿迁中考数学压轴题。题目以正方形手拉手模型为背景，考查线段有关的数量关系与位置关系。根据中点进行构造辅助线，是较为常见的类型，值得对比研究。

---

【中考真题】

（2021·宿迁）已知正方形与正方形，正方形绕点旋转一周．
（1）如图①，连接、，求的值；
（2）当正方形旋转至图②位置时，连接、，分别取、的中点、，连接、试探究：与的关系，并说明理由；
（3）连接、，分别取、的中点、，连接，，请直接写出线段扫过的面积．

---

【分析】

（1）先猜测再证明，由于题目中设计正方形，猜测为√2倍。那么就需要考虑构造等腰直角三角形。连接AC与AF，那么就可以得到√2，然后根据相似即可得到结论。难度不大。

（2）猜测为垂直的关系，且数量具有倍半关系，连接BM与EM，如果能证明三角形BME为等腰直角三角形即可。但由于无法利用中点的条件，因此还需考虑构造中点有关的辅助线。连接EM并倍长，然后再得到如下图，通过证明△BEH为等腰直角三角形即可。

（3）由于本题仍然考查中点问题，因此还需构造中点有关的辅助线。取BA的中点为O，通过连接可以得到一组位似图形。那么QN可以看成绕点O旋转的线段，扫过的面积可以转化为扇形进行求解。

---

【答案】解：（1）如图①，连接，，

四边形和四边形都是正方形，
，，，，
，，
，
；
（2），，
理由如下：如图②，连接，过点作，交直线于，连接，设与交点为，与交点为，

，
，
点是的中点，
，
又，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，，
，
，，
，
，点是中点，
，，
，；
（3）如图③，取中点，连接，，，

，
，
点是的中点，点是的中点，点是的中点，
，，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，点在以点为圆心，3为半径的圆上运动，
线段扫过的面积．