例题1:如图,AB是⊙O的直径,BC=BD,若∠BOD=65°,求∠A的度数.
引导:
要求∠A的度数,可将其转化为求
所对的圆心角的度数,这样就需要连
接OC这条辅助线了.
解:如图,连接OC,∵BC=BD,
∴∠BOC=∠BOD=65°.
∴∠A=∠BOC=×65°=32.5°.
总结:
同圆或等圆中的弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系可以互相转化,当某个结论不好求时,可运用转化思想将其转化为求与之相关的另一结论.
练习1
如图, ⊙O的直径AB = 10cm,C为⊙O上的一点,∠B = 30°,求AC的长.
解:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
在Rt△ACB中,
sin ∠ABC=,
∴AC=AB sin ∠ABC=10×sin 30°
=10×=5(cm).
∴AC的长为5 cm.
练习2
(中考·张家界)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的
弦,若∠OBC=60°,则∠BAC的度数是( )
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
答案:D
练习3
【中考·毕节】如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ACD=30°,则∠BAD为( )
A.30°
B.50°
C.60°
D.70°
答案:C
练习4
【中考·安顺】如图,⊙O的直径AB=4,BC切
⊙O于点B,OC平行于弦AD,OC=5,则AD的
长为( )
A.
B.
C.
D.
答案:B
练习5
(中考·连云港)如图,点P在以AB为直径的半圆内,连接AP,BP,并延长分别交半圆于点C,D,连接AD,BC并延长交于点F,作直线PF,下列说法一定正确的是( )
①AC垂直平分BF;②AC平分∠BAF;③FP⊥AB;④BD⊥AF.
A.①③
B.①④
C.②④
D.③④
答案:D
例题2
(中考·兰州)如图,已知经过原点的⊙P
与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C
是劣弧OB上一点,则∠ACB等于( )
A.80° B.90° C.100° D.无法确定
引导:由∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对的圆周角,根据圆周
角定理,即可求得∠ACB =∠AOB= 90°.
解:∵∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对的圆周角,
∴∠AOB =∠ACB,
∵ ∠AOB = 90°,∴ ∠ACB = 90°.
总结: 此题考查了圆周角定理,此题比较简单,解题的
关键是观察图形,得到∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对
的圆周角.
练习1
小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形.
下面所示的四种圆弧形,你能 判断哪个是半圆形?为什么?
解:题图(2)是半圆形.
∵90°的圆周角所对的弦是直径.
练习2
【中考·兰州】如图,已知经过原点的⊙P与x轴,y轴分别交于点A,B,C是劣弧OB上一点,
则∠ACB等于( )
A.80°
B.90°
C.100°
D.无法确定
答案:B
易错题
已知在半径为4的⊙O中,弦AB=,点P在圆上,则∠APB=___________.
解:如图,当点P(P1)在弦AB所对的优弧上时,过点O作OC⊥AB于点C,连接OA,OB.由垂径定理可得AC=,∠AOC=∠BOC.在Rt△OAC中,OC==2=OA,所以∠OAC=30°.所以∠AOB=120°,所以∠AP1B=60°.同理当点P(P2)在弦AB所对的劣弧上时,∠AP2B=120°.
知识小结
1.已知直径时,常添加辅助线构造直角三角形,即“见直径想 直角”.题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°,遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径,这是圆中作辅助线的常用方法.
2.在解决圆的有关问题时,常常利用圆周角定理及其推论进行两种转化:一是利用同弧所对的圆周角相等,进行角与角之间的转化,二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题.
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