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【九年级】圆周角和直径的关系典型例题及易错练习

例题1:如图,AB是⊙O的直径,BC=BD,若∠BOD=65°,求∠A的度数.

引导:

要求∠A的度数,可将其转化为求      

所对的圆心角的度数,这样就需要连

接OC这条辅助线了.

解:如图,连接OC,∵BC=BD,

∴∠BOC=∠BOD=65°.

∴∠A=

∠BOC=
×65°=32.5°.

总结:

同圆或等圆中的弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系可以互相转化,当某个结论不好求时,可运用转化思想将其转化为求与之相关的另一结论.

练习1

如图, ⊙O的直径AB = 10cm,C为⊙O上的一点,∠B = 30°,求AC的长.

解:∵AB为⊙O的直径,

∴∠ACB=90°.

在Rt△ACB中,

sin ∠ABC=

∴AC=AB sin ∠ABC=10×sin 30°

=10×

=5(cm).

∴AC的长为5 cm.

练习2

(中考·张家界)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的

弦,若∠OBC=60°,则∠BAC的度数是(  )

A.75°   

B.60°   

C.45°   

D.30°

答案:D

练习3

【中考·毕节】如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ACD=30°,则∠BAD为(  )

A.30° 

B.50° 

C.60° 

D.70°

答案:C

练习4

【中考·安顺】如图,⊙O的直径AB=4,BC切

⊙O于点B,OC平行于弦AD,OC=5,则AD的

长为(  )

A.

               

B.

C.

D.

答案:B

练习5

(中考·连云港)如图,点P在以AB为直径的半圆内,连接AP,BP,并延长分别交半圆于点C,D,连接AD,BC并延长交于点F,作直线PF,下列说法一定正确的是(  )

①AC垂直平分BF;②AC平分∠BAF;③FP⊥AB;④BD⊥AF.

A.①③         

B.①④        

C.②④       

D.③④

答案:D

例题2

(中考·兰州)如图,已知经过原点的⊙P

与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C

是劣弧OB上一点,则∠ACB等于(  )

A.80°   B.90°  C.100° D.无法确定

引导:由∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对的圆周角,根据圆周

角定理,即可求得∠ACB =∠AOB= 90°.

解:∵∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对的圆周角,

∴∠AOB =∠ACB,

∵ ∠AOB = 90°,∴ ∠ACB = 90°.

总结: 此题考查了圆周角定理,此题比较简单,解题的

关键是观察图形,得到∠AOB与∠ACB 是优弧AB所对

的圆周角.

练习1

小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形.

下面所示的四种圆弧形,你能 判断哪个是半圆形?为什么?

解:题图(2)是半圆形.

∵90°的圆周角所对的弦是直径.

练习2

【中考·兰州】如图,已知经过原点的⊙P与x轴,y轴分别交于点A,B,C是劣弧OB上一点,

则∠ACB等于(  )

A.80°

B.90°

C.100°

D.无法确定

答案:B

易错题

已知在半径为4的⊙O中,弦AB=

,点P在圆上,则∠APB=___________.

解:如图,当点P(P1)在弦AB所对的优弧上时,过点O作OC⊥AB于点C,连接OA,OB.由垂径定理可得AC=

,∠AOC=∠BOC.在Rt△OAC中,OC=
=2=
OA,所以∠OAC=30°.所以∠AOB=120°,所以∠AP1B=60°.同理当点P(P2)在弦AB所对的劣弧上时,∠AP2B=120°.

知识小结

1.已知直径时,常添加辅助线构造直角三角形,即“见直径想 直角”.题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°,遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径,这是圆中作辅助线的常用方法.

2.在解决圆的有关问题时,常常利用圆周角定理及其推论进行两种转化:一是利用同弧所对的圆周角相等,进行角与角之间的转化,二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题.

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