中考数学压轴题分析：矩形折叠与动点轨迹问题

本文内容选自2021年菏泽中考数学几何压轴题。以矩形折叠为背景，考查动点轨迹问题。

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【中考真题】

（2021·菏泽）在矩形ABCD中，BCCD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．

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【分析】

（1）由折叠与平行可以得到∠PEF=∠PFE，利用等角对等边解决问题。

（2）设PE与AB交于点N，PF与GH交于点Q，连接MP，先证明△PBN≌△PHQ，再证明△PHM≌△PBM，再证明ME与MF相等。

（3）由于AE=CF，所以EF必经过矩形对角线的交点O，那么可以发现OG=OC=OA，点G的轨迹为圆弧，确定起点与终点，以及圆心角的度数即可得到结论。

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【答案】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折变换可知，∠DEF＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF．

（2）证明：如图2中，连接AC交EF于O，连接PM，PO．

∵AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
∵PE＝PF，
∴PO平分∠EPF，
∵PE＝PF，AD＝BC，AE＝FC，
∴ED＝BF，
由折叠的性质可知ED＝EH，所以BF＝EH，
∴PE﹣EH＝PF﹣BF，
∴PB＝PH，
∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，
∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），
∴PM平分∠EPF，
∴P．M，O共线，
∵PO⊥EF，OE＝OF，
∴点M在线段EF的垂直平分线上．

（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC．

在Rt△BCD中，tan∠CBD，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABO＝∠OAB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，
∴点G运动的路径的长π．
故答案为：π．