点圆最值→​母子相似→阿斯圆

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如下图，OP、OA线段长度不变，看到这幅动态图，你能想到什么？

1、当点P运动到C点时，AP达到最大值。

2、当点P运动到B点时，AP达到最小值。

    

3、在运动过程中，OP：OA的比值不变。

   

4、利用比值不变构造类似SAS的母子三角形相似

在OB上找一点Q使得OQ:OP=OP:OA=k (OP平方=OQ*OA），在△OPQ和△OAP中，∠POQ=∠AOP，∴△OPQ∽△OAP（母子型相似）

∴PQ=kPA

     

5、解决形如PA+kPB的最值问题

在圆O外再给定一个定点D，当P点运动到什么位置时，DP+kPA的值最小。由△OPQ∽△OAP得PQ：PA=k，（即PQ=kPA），∴DP+kPA的最小值问题转化为DP+PQ最小值问题。（两点之间，线段最短）

连接PQ与圆交于点P'，此时满足DP+kPA取得最小值。

阿 波 罗 尼 斯 圆 

提炼基本模型

特征：1、两个定点+一个动点

          2、动点在圆上

          3、k=圆的半径：圆心与定点的距离

思路：构造类似“SAS”的母子相似三角形（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）转化为“两点之间，线段最短”

阿氏圆模型是圆上一动点P到两定点A和B形成两条动线段PA、PB，求PA+kPB最值问题。转化为“两点之间，线段最短”（其中k不等于1）(K等于1时，P点在线段AB的中垂线上)

而胡不归模型是直线上一动点P到两定点A和B形成两条动线段PA、PB，其中一条有倍数关系的求线段之和的最值问题（其中K小于1）转化为“垂线段最短”

实战演练：如图，在矩形ABCD中，AD=9, AB=6，P点在以D为圆心，3为半径的圆上，AD、CD分别交圆D与F、E两点。

求①AP+1/2*PC的最小值

    ②CP+1/3*AP的最小值

解：①如图，取DE中点N，连接NP，

       可证△DPN∽△DCP，

       ∴NP=1/2*PC

       ∴AP+1/2*PC=AP+NP

          ∴当A、P、N三点共线时取得最小值为3/2*√37

②如图，在DA上取DN=1，连接NP，

       可证△DPN∽△DAP，

       ∴NP=1/3*PA

       ∴CP+1/3*AP=CP+PN

         ∴当C、P、N三点共线时取得最小值为√37

无论是“胡不归”模型还是“阿斯圆”模型，其实都用到同一个数学思想：转化。关键是系数K的处理，“胡不归”用锐角三角函数，“阿斯圆”用相似，“胡不归”转化为“垂线段最短”基本模型，“阿斯圆”转化为“两点之间，线段最短”基本模型。解题有时就像寻根之旅，找到了源头，即使命题人把你带得再偏再远，你总是能够独自回家。