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“将军饮马”是最值问题的一种，学生在学习轴对称之后经常性会碰到类似的题目，下面我们就来谈谈“将军饮马”的前世今生。
一．将军饮马的故事
所谓将军饮马，就是指有一个将军晚上回营，回营前想带着自己的马去旁边一条河边喝水，问将军怎样走才能让自己走的距离最短？
抽象为一个数学问题其实就是在直线l上找一点P，使得PA＋PB最短（如下图所示）
二．将军饮马的数学解释
解释最短，在初中数学中最基本的就是两点：
①两点之间线段最短；
②点到直线上的点的距离，垂线段最短。
其中①的推广就是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
考虑到图形的状况，我们利用轴对称构造三角形。
如下图所示，作点A关于ｌ的对称点A＇，连接PA＇，
则PA＝PA＇，而PA＇＋PB≥A＇B，所以连接A＇B与ｌ的交点P＇即为所求的点。
三．将军饮马的应用
通过刚才的说理，我们知道将军饮马的基本图形：一定直线两定点，两点固定在直线的同侧，寻求的是直线上使距离之和最短的点，我们可以看作是l上的动点，所求的即下图中的点P。
例题１：如图，正方形ABCD，边长为２，点E为边CD的中点，点P为对角线AC上一点，求PD＋PE的最小值。
分析：
看到线段＋线段的最小值，考虑将军饮马模型，其中两定点为D、E，定直线为对角线AC，所以找点E或者点D关于直线AC的对称点，如下图所示，再由勾股定理求解。
解答：
作出点E关于AC的对称点E’，我们可以知道CE’=1，CD=2，所以DE’=
，即DP+PE的最小值为
。
试一试：
如图，点A(3,0),点B（0，2）点C的坐标为（x,3），当△ABC的周长最短时，求x的值。
四．将军饮马的变式
1.一线变两线
例题2：如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，在OA上有一点Q，OB上有一点R。若△PQR周长最小，则最小周长是多少？
分析：
此题要求周长最小，根据我们所学的最短情况需要将三条线尽量放在同一条直线上，这样可以用两点之间线段最短来解释，由此想到分别作点P关于OA、OB的对称点，而这两个点都是固定点从而求解。
解答：
上图作出对称点P’、P’’，连接P’P’’即为所求。考虑到∠AOB=30°，此时△OP’P’’是一个等边三角形，所以P’P’’=OP=10。
试一试：
如图，直角坐标系中两点A（1，4）、B（3，2），试在x轴上找一点C，y轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，并求出这个最小值。
2.线上定线段
如图所示，矩形ABCD中，AD=6，AB=4，E为CD中点，点F、G在线段BC上，FG=2。试找出一点F，使得四边形AFGE的周长最小，并求出这个最小值。
分析：
由于AE、FG的长是一个定值，所以四边形AFGE的周长最小，其实就是AF+EG最小，由于这个形式跟将军饮马的形式相同，所以我们考虑利用对称来求解。
将军饮马在直线上是一个动点，而这里是两个动点F和G，但是FG＝２是一个定值，所以我们想到通过平移转化忽略这段距离，将AF向右平移２个单位，也就是A’G的位置，此时就形成了“将军饮马”两定点一直线的情况。
解答：
将AF平移到A’G的位置，如图所示，AF+GE的最小值即为A’E’的大小，所以四边形AFGE周长的最小值为
3.两点夹平行
村庄A和村庄B位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B 之间的距离最短？
分析：
AC+CD+BD最小其实就是AC＋BD最小。这个问题不再是线上有两点，而是有两条平行线，联想到刚刚有两个点我们平移点让两点变一点，这儿的两条线我们是否可以通过平移两线变一线呢？
解答：
将点A和直线l1平移到A’和l2的位置,此时AC+BD的最小值就是A’B的大小，将桥造在C’D’位置，此时从A到B的距离最小。
五．将军饮马的推广
1.求两线段差的最大值
如图所示，当两定点A、B在直线
同侧时，在直线
上找一点P，使
最大。
分析：
要使
最大，考虑到三角形的两边之差小于第三边，构造以PA、PB 为边的三角形。若直接连接AB，我们无法确认PA-PB的最值，所以利用对称将PA转化为PA’的位置，从而发现当点P到P’这个位置的时候，
最大，最大值就是A’B的长。
2.两定变一定一动
所谓两定变一定一动就是指作为将军饮马的两个定点变成一个定点一个动点。
如图所示，OC为∠AOB的角平分线，点D为∠AOC内一定点，点E在射线OC上，EF⊥AO，垂足为F，试在图中找出点E、点F，使得DE+EF最短。
分析：
题目给出了角平分线上的点和一个距离，所以我们考虑到角平分线上的点到角的两边的距离相等这个知识，发现当点E到达E’这个位置的时候，DE+EF最短，最小值就是DF’的大小。
3.两定变两动
所谓两定变两动是指两个点都不固定，这个时候我们还需要结合其他知识来解决最值问题。
如图所示，菱形ABCD，AB=2，且∠DAB=60°，点M、N、P分别在AB、BC和AC上，试求PM+PN的最小值。
分析：
从题目要求的结论来看，显然和将军饮马类似，我们作出点M关于AC的对称点M’，发现M’P+PN≥M’N，而M’N≥M’’N,从而将两动点问题转化为平行线间的距离问题，从而我们只需要求出AD和BC间的距离，也就是菱形的高就行了。
解答：
PM+PN的最小值为
总之，将军饮马主要考察了轴对称的相关知识，单独放在这里，大家应该都能掌握。在初三的学习过程中，它会与几何综合、函数和直角坐标系相结合，我们只需要在复杂的题目中发现将军饮马的特征，利用今天的知识求解就行了。
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