想要几何高分收藏了慢慢看——依据基础定理 迭代基本图形

2022年新的课程标准的颁布，拉开了新的一轮数学课改的帷幕。在新的课程标准中几何直观依然是很重要的核心素养。

课程标准表述如下：

几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。

分析

对于初一的学生而言，这学期的几何已经和小学所学的图形知识完全不同，不再是面积的写写算算，处处渗透的是一种逻辑语言的描述。那么如何抽丝剥茧的从仅有的一些条件得到结论，我觉得几何的解题入手非常关键。着手点不外乎这样三个：条件、结论、图形。条件是从何而来，结论是到何处去，而图形就是是否有熟悉的路径的问题。

几何直观强调能够感知各种几何图形其组成元素，构建数学问题的直观模型。这就是我们需要从一开始构建基本图形思想的理论源泉。

下面就《三角形的内角和》这一节的知识来谈谈如何逐步构建基本图形。

ONE

提炼基本图形

课本内容如下：

三角形的内角和为180度。

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。

如果从几何语言的角度描述如下：

在这个定理的推论中我们就能找到证明一个角等于另外两个角的度数之和的方法，即上图的右图，我们可以从图形的形状上称之为“小红旗”模型。

例题一

已知如图，在△ABC中，∠1=∠2，E是BC延长线上一点，且∠EAD=∠EDA，求证：∠EAC=∠B.

分析：

从图形上看我们发现图中存在“小红旗”模型，结合结论我们发现∠EDA=∠1+∠B（如右图），而∠EAD=∠2+∠EAC从而解决问题。

例题二

如图所示，将三角形ABC沿着DE折叠，使得点A’落在四边形BCED的内部，若∠A=40°，则∠BDA’与∠CEA’的和是多少度？

由以上两个例题我们可以发现，对于两个角相加的情况，结合图形找到小红旗模型可以迅速的解决。题目做多了之后我们应该思考，思考众多题目中共性的部分，共性的思路、共性的结论、共性的图形特征，而这里我们可以找到共性的图形特征。

TWO

迭代基本图形

通过刚刚我们发现的“小红旗”模型，我们可以组合迭代，得到一些新的基本图形，更好地为解题服务。

例题三：

已知如图，AC、BD相交于点O ．求证：∠A+ ∠B=∠C + ∠D．

分析：从结论角度来看，我们能否找到一个角正好等于∠A+∠B，也正好等于∠C+∠D；从图形角度看，这个图有两个三角形，可以找出其中的小红旗模型，从而求解。

由此我们可以得到一个新的基本图形，我们可以称之为“蝴蝶”形。

例题四：

已知如图，求证：∠ADC=∠A+∠B+∠C。

通过刚才的迭代，我们又得到了一个基本图形，我们姑且称之为“飞镖形”。

THREE

运用基本图形

很多的难题就是将几道简单题组合在一起。特别是几何，图形组合之后删去一两条线段就会让学生想半天，这个时候我们就可以利用基本图形的思想去补全，去分解，庖丁解牛式的化难为易。

我们来看一道让学生死去活来的经典题。每次作业考试都会碰到类似的图形，或者运用题目的结论。

经典题

（1）如图所示，在△ABC中，角平分线BO、CO相较于点O，求证：

（2）如图所示，在△ABC中，外角平分线BP、CP相较于点P，求证：

（3）如图所示，在△ABC中，角平分线BD和外角平分线CD相较于点D，求证：

分析

我们来看一下这三道题的图形中有没有基本图形，仔细一看图（1）中有飞镖模型，图（3）中有两个小红旗，图（2）不容易发现，考虑到上一道题，我们发现连接AP就出现了两个小红旗模型。具体的解答我就不写下来了，当然还有其他的思路，这里我由于要突出基本图形就只这样看了。

对很多学生来讲，几何就是一个噩梦，噩梦开始的地方就是平面图形的认识——平行线、三角形。初识几何之际我们如何化难为易，如何让学生轻松的认识几何，接受几何，更好的培养学生的逻辑推理和表达能力，更好的让学生在数学上获得必要的成就感，是我们老师需要研究的课题。而构建基本图形将几何图形模块化就是一种尝试。当然过于模块化可能会束缚孩子思维的开放性，于此作为老师在课堂上要进行适当的引导，既不要过于放，也不要过于收。既要鼓励孩子“异想天开”，也要限制孩子“树立规矩”，两相结合，寻找一个合理的平衡点。

初·中·加·油