【假期专刊】新初三数学：本学期重点章节【圆】知识点 练习，暑假必备

知识点：

(1)、确定一个圆的要素是圆心和半径。

(2)①连结圆上任意两点的线段叫做弦。

②经过圆心的弦叫做直径。

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。

⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。

⑥在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。

⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。

⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。

2、 圆的有关性质

(1)定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

　　

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

(3)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。

推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90 。90 的圆周角所对的弦是圆的直径。

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

(4)切线的判定与性质：

判定定理：经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。

性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点切垂直于切线的直线必经过圆心。

(5)定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

　

(6)圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长;切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。

　

(7)圆内接四边形对角互补，一个外角等于内对角;圆外切四边形对边和相等;

　

(8)弦切角定理：弦切角等于它所它所夹弧对的圆周角。

(9)和圆有关的比例线段：

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。

(10)两圆相切，连心线过切点;两圆相交，连心线垂直平分公共弦。

类型一、切线的性质

【例题1】如图，已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，

过点C作CE⊥AB，交⊙O于点E，垂足为点D.

(1)求证：∠PCB＝∠BAC；

(2)过点B作BM∥PC交⊙O于点M，交CD于点N，连接AM.

①求证：CN＝BN；

②若cosP = 4/5 , CN = 5 , 求AM的长.

例题1图

【参考答案】

(1) 证明：如解图1所示，连接OC，交BM于点F.

解图1

∵PC是⊙O的切线，

∴OC⊥PC.

∴∠PCO＝90°.

∴∠PCB＋∠BCO＝90°.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∴∠ACO＋∠BCO＝90°.

∴∠PCB＝∠ACO.

∵OC＝OA，

∴∠ACO＝∠BAC.

∴∠PCB＝∠BAC.

(2)

例题1图

①证明：

∵BM∥PC，

∴∠CBM＝∠PCB.

∵CE⊥AB，

∴︵BC＝︵BE.

∴∠BAC＝∠BCE.

∵∠PCB＝∠BAC，

∴∠BCE＝∠PCB＝∠CBM.

∴CN＝BN.

②解：

例题1图

∵BM∥PC，

∴∠MBA＝∠P.

∴cos∠MBA＝cosP＝4/5.

在Rt△BDN 中，

cos∠MBA＝BD/ BN＝4/5，BN＝CN＝5，

∴BD＝4.

∴CD＝CN＋ND＝8.

在Rt△OCD 中，设OC＝r，

则OD＝OB－BD＝r－4.

由勾股定理，得OC2＝OD2＋CD2，

即r2＝(r－4)2＋8^2.

解得r＝10.

∴AB＝2r＝20.

∵AB是直径，

∴∠AMB＝90°.

在Rt△ABM 中，cos∠MBA＝BM/ AB ＝4/ 5，AB＝20，

∴BM＝16.

类型二、切线的判定与性质综合——双切线模型

【例题2】如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为点C，交⊙O于点A，

连接PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.

(1)求证：PA是⊙O的切线；

(2)若tan∠BAD＝2/ 3，且OC＝4，求BD的长．

例题2图

                                                                                                                                 

【参考答案】

解：

(1) 如解图1所示，连接OB，则OA＝OB.

解图1

∵OP⊥AB，

∴AC＝BC.

∴OP是AB的垂直平分线．

∴PA＝PB.

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌ △PBO ( SSS )．

∴∠PAO＝∠PBO.

∵PB为⊙O的切线，B为切点，

∴∠PBO＝90°.

∴∠PAO＝90°，即PA⊥OA.

∴PA是⊙O的切线．

(2) 如解图2所示，连接BE.

解图2

在Rt△AOC 中，

tan∠BAD＝tan∠CAO＝OC/ AC＝2/ 3，且OC＝4，

∴AC＝BC= 6 .

∵PA⊥OA，OP⊥AB，

∴∠PAC＋∠OAC＝90°.

∴∠ACP＝∠OCA＝90°，∠PAC＋∠APC＝90°.

∴∠APC＝∠OAC.

∴△PAC∽△AOC.

∴ PC/ AC＝AC/ OC，即PC/ 6 ＝6/ 4 .

解得PC＝9.

∴OP＝PC＋OC＝13.

解图2

在Rt△PCB 中，由勾股定理得，

∵AC＝BC，OA＝OE，

∴OC为△ABE的中位线．

∴BE＝2OC＝8，OC∥BE

.∴△DBE∽△DPO .

∴BD/ PD = BE / PO ,

       

               

类型三、切线的判定与性质综合——切割线模型

【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，

过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，

其中∠FDE＝∠DCE.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长

例题3图

【参考答案】

(1)证明：如解图1所示，连接BD.

解图1

∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，

∴BD是⊙O的直径．

又∵ ∠BDE＝∠BCE，∠FDE＝∠DCE，

∴∠BDE＋∠FDE＝∠BCE＋∠DCE，即∠BDF＝∠ACB＝90°.

∴DF⊥BD.

又∵BD是⊙O的直径，

∴DF是⊙O的切线．

(2)解：

解图1

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，

∴AB＝2BC＝8.

∵点D是AC的中点，

∴AD＝CD＝1/2AC＝2√3.

∵BD是⊙O的直径，

∴∠DEB＝90°

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