本题考查瓜豆模型,以及与圆有关的最值问题,难度较大,通过动态演示可以较为清晰的展示结论。
【题目】
(2022·北京)在平面直角坐标系xOy中,已知点M(a,b),N.
对于点P给出如下定义:将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度,再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度,得到点P′,点P′关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.
(1)如图,点M(1,1),点N在线段OM的延长线上.若点P(﹣2,0),点Q为点P的“对应点”.
①在图中画出点Q;
②连接PQ,交线段ON于点T,求证:NT=1/2OM;
(2)⊙O的半径为1,M是⊙O上一点,点N在线段OM上,且ON=t(1/2<t<1),若P为⊙O外一点,点Q为点P的“对应点”,连接PQ.当点M在⊙O上运动时,直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示).
【分析】
(1)①根据新定义,得到点P′的坐标为(﹣1,1),作关于点N的的对称点Q即可。
②证明NT为OM的1/2那么说明T为MN的中点。
因为T是连接PQ产生的,说明与PQ有关系,Q是点P′关于N的对称点,那么可以得到N为P′Q的中点,通过连接PP′,可以发现PP′与ON是平行的,那么结论就出来了。
当然,还可以考虑延长MN,如下图所示。
如图,构造一个“X字型”的相似,得到T为OA的中点,进而得到NT为1/2的MN。
(2)要求PQ的最大值与最小值的差,并没有那么容易,关键是需要画图确定点P与Q的关系,这样才好判断。
如图,先画出半径为1的⊙O,在圆上任取一点M,连接OM,点N为OM上一点,但ON=t(1/2<t<1),那么可以得到点N的话只能是在上面的环形内运动,且不能在两个圆上。
根据题目的新定义,可以得到PP′与OM平行且相等,那相当于构造一个平行四边形,当点P确定的时候P′的位置也确定,点P动,则P′也动。四边形OPP′M始终为平行四边形。
如图,确定点P′的对称点Q,连接P′Q与PQ,假设PQ与OM交于点T。
由于有了(1)②的结论与提示,可以发现N为P′Q的中点,那么可以得到T为PQ的中点,也就是PQ平行且等于PP′的一半,因为PP′=OM,所以可以得到NT=1/2,因为OM=1,ON=t,那么就可以得到:
MN=1-t,
OT=1/2-MN=1/2-1+t=t-1/2。
假设P为固定的一个点,那么点T的轨迹为一个圆,圆心也为O,半径为OT,即t-1/2。要求PQ的最值,其实就是求PT最值的两倍。因为PQ=2PT,那么我们只需要求出PT的最大值与最小值即可。
当点M运动时,可以发现点T的运动轨迹为圆,那么PT与PO共线时分别取到最大值和最小值。最大值为PO+r=PO+OT,最小值为PO-r=PO-OT,那么最大值与最小值的差为2OT=2t-1。
所以PQ的的最大值与最小值之差为2OT的两倍,即4t-2。
上面是动图的演示,可以发现本题的最值之差只与t的值有关。也就是说点N的位置会影响OT的长,进而影响最值之差,与点P的位置无关。
【总结】
本题其实考查的是瓜豆模型,以及与圆有关的最值问题,有一定的难度,特别是题目没有给出图形,不容易发现结论。
如下面的动图,T在OM上,OT与OM的比值的固定的,那么点T的轨迹与点M的轨迹是相似的。
一样的道理,点T在PQ上,PT与PQ的比值是一样的,当点T运动的时候,点Q也会发生运动,轨迹也是相似的。
而点Q的圆心在直线PO上,如下图所示。
更多精彩内容,请查看《中考数学压轴题全解析·解答题》。
5.4瓜豆模型在《中考数学压轴题全解析·解答题》的P128。
9.7与圆有关的最值问题在P263页,分为点与圆有关的最值和线与圆有关的最值问题。具体请看书中内容。
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