初中数学——婆罗摩笈多模型

婆罗摩笈多模型

- 导读 -

婆罗摩笈多模型是由印度数学家婆罗摩笈多提出来的。本篇文章主要介绍了以下几个方面的内容：一是特殊的婆罗摩笈多模型；二是一般的婆罗摩笈多模型；三是婆罗摩笈多定理及其逆定理；四是提供了一些实际的例题供大家练习和巩固。下面我们就来具体的看一下婆罗摩笈多模型的原型。

一、婆罗摩笈多模型-等腰Rt三角形

已知：如图，两个等腰直角三角形Rt△ABO和Rt△CDO，顶点重合，连接AC，BD．

结论：

①你的中线我的高：若F是AC中点，那么一定有EF⊥BD；

②你的高我的中线：若EF⊥BD，那么一定有F是AC中点；

③S△BOD=S△AOC；

④BD=2FO．

证明结论①：

辅助线：倍长中线

倍长OF，则△AFG≌△CFO（SAS），△OAG≌△BOD（SAS），∠1=∠2，∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°即EF⊥BD

证明结论②：

辅助线1：构造一线三等角

作AM⊥OF，CN⊥OF，则△AMO≌△OEB，△CNO≌△OED（K型全等），∴△AMF≌△CNF（8型全等），∴F为AC中点

辅助线2：构平行线

过A作AG∥OC，则△OAG≌△BOD（SAS），△AFG≌△CFO（AAS），∴F为AC中点

证明结论③：

辅助线：旋转△AOC

旋转△AOC至△BOG，则O为DG的中点，根据中线平分面积得，S△BOD=S△BOG=S△AOC

证明结论④：

辅助线：倍长中线（和结论①证法几乎一样）

倍长OF，则△AFG≌△CFO（SAS），△OAG≌△BOD（SAS）∴BD=OG=2FO

二、婆罗摩笈多模型-旋补三角形

已知：如图，△AOB和△COD为等腰三角形，且∠AOB+∠COD=180°，点E为BD中点，连接AC，BD．

结论：

①AC=2OE；

②S△BOD=S△AOC．

证明结论①：

辅助线：倍长中线

倍长OE，则△OED≌△GEB（SAS），△GBO≌△COA（SAS），AC=OG=2OE

证明结论②：

辅助线：旋转△AOC

旋转△AOC至△BOG，则O为DG的中点，根据中线平分面积得，S△BOD=S△BOG=S△AOC

三、婆罗摩笈多模型-圆中应用（初三学生适合研究）

已知：如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，ME⊥BC于点E，延长EM交CD于点F．

结论：

①若ME⊥BC，则F是AD中点（婆罗摩笈多定理）

②若F是AD中点，则ME⊥BC（婆罗摩笈多逆定理）

证明结论①：

∠A=∠B=∠CME=∠AMF ，∴MF=AF；∠C=∠D=∠BME=∠DMF，∴MF=DF

∴AF=DF即F是AD中点．

证明结论②：

斜边中线得∠A=∠B=∠AMF=∠CME，∴ME⊥BC

四、巩固训练

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