初中几何压轴题：半角模型的应用

问题：数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．

折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．

（1）∠EAF＝         °，写出图中两个等腰三角形：（不需要添加字母）；

思考：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．

（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为            ；

（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则  ＝          ；

思考：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．

（4）求证：BM²+DN²＝MN²．

分析：（1）利用翻折变换的性质可得∠EAF＝45°，证明△BAE≌△DAF（ASA），推出BE＝DF，AE＝AF，可得结论．

（2）结论：PQ＝BP+DQ．如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．证明△PAT≌△PAQ（SAS），可得结论．

（3）证明△CAQ∽△BAM，可得  ．

（4）如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．证明△AMR≌△AMN（SAS），∠RBM＝90°，可得结论．

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（1）解：如图，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，

∴△ABC，△ADC都是等腰三角形，

∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，

∴∠EAF＝  （∠BAC+∠DAC）＝45°，

∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，

∴△BAE≌△DAF（ASA），

∴BE＝DF，AE＝AF，

∵CB＝CD，

∴CE＝CF，

∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，

答案：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．

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（2）解：结论：PQ＝BP+DQ．

理由：如图，延长CB到T，使得BT＝DQ．

∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，

∴△ADQ≌△ABT（SAS），

∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，

∵∠PAQ＝45°，

∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，

∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，

∵AP＝AP，

∴△PAT≌△PAQ（SAS），

∴PQ＝PT，

∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，

∴PQ＝BP+DQ．

答案：PQ＝BP+DQ．

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（3）解：如图，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC＝  AB，

∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，

∴∠BAM＝∠CAQ，

∴△CAQ∽△BAM，

∴  ，

答案：  ．

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（4）证明：如图，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．

∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，

∴∠DAN+∠BAM＝45°，

∵∠DAN＝∠BAR，

∴∠BAM+∠BAR＝45°，

∴∠MAR＝∠MAN＝45°，

∵AR＝AN，AM＝AM，

∴△AMR≌△AMN（SAS），

∴RM＝MN，

∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，

∴∠RBM＝90°，

∴RM²＝BR²+BM²，

∵DN＝BR，MN＝RM，

∴BM²+DN²＝MN²．

评析：本题是正方形及等腰直角三角形半角模型的应用，属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

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      在初中几何学习中，要注意概念关、语言关、画图关、推理证明关四大关。善于静中找动，实现从特殊到一般的转化。动中找静，找到运动过程中不变的数学模型或规律，再从一般到特殊，利用临界情况解决问题。动静结合，其乐无穷！解决几何问题不顺手的原因是由于对基本的模型图及结论掌握不牢固，还有常见的几何解题方法不够熟练。本公众号作者潜心研究整理初中几何学习过程中常见的几何基本模型图及结论，如有错误或更好的思路，请大家不吝赐教。