本题选自2022年广州中考数学填空压轴题,考查动点产生的几何最值问题,是之前讨论比较多的瓜豆模型。虽然是小题,但是值得练练手。
【题目】
(2022·广州)如图,在矩形ABCD中,BC=2AB,点P为边AD上的一个动点,线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′,连接PP′,CP′.当点P′落在边BC上时,∠PP′C的度数为 ° ;当线段CP′的长度最小时,∠PP′C的度数为 ° .
【分析】
(1)第一问比较直接,当点P′落在BC上时,可以得到∠PP′C=120°。
(2)第二问有一定难度,因为需要确定点P′的轨迹,然后再得到CP′ 的最小值,求出此时∠PP′C的度数。
从题目的条件可以得到△BPP′始终为等边三角形,而点P在边AD上运动,那么△BPP′的大小一直在变,但是形状不变。
这其实就是前面介绍过的非常常见的一种类型,就是大家常说的瓜豆模型。
通过上方的动图,很明显观察到点P′的轨迹是线段,那么就可以得到当CP′与点P′的轨迹垂直时最小,因为垂线段最短。此时只需要画出图形,求出角度即可。
那为什么轨迹是线段呢,如何说明?
如图,当点P与A重合时,点P′落在点O处,也就是起始位置。以AB为边在右侧构造等边三角形ABO,那么可以得到一组手拉手等边三角形,此时根据SAS可以得到△ABP≌△OBP′(SAS),可以发现∠BOP′=∠BAP=90°。
而BO固定不变,那么OP′始终与BO垂直,点P′的轨迹就是BO的垂线段。
如下图所示,此时可以得到BO与CP′平行,那么可以得到∠BCP′=∠CBO=30°,那么就可以得到OP′=1/2BC=AB=BO,此时可以得到△BOP′ 为等腰直角三角形。
所以此时∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P
=∠BP′O+∠OP′C-∠BP′P
=45°+90°﹣60°
=75°。
当然,其实还可以有其他的突破口。
我们知道,遇到等长共点的图形的时候,常常考虑旋转构造辅助线。
如图,将△BCP′逆时针旋转60°至△BC′P,那么就可以得到CP′=C′P,而点C′的位置是确定的,点P在AD上运动,当C′P⊥AD时C′P最小,即此时CP′最小。
由于△BCC′为等边三角形,可以得到此时点P为AD的中点,得到△ABP为等腰直角三角形,那么就可以得到∠BP′C=∠BPC′=45°+90°=135°,那么此时
∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-60°=75°。
【总结】
遇到等腰、等边等“等长共点”的图形时常考虑旋转进行构造辅助线。遇到几何最值问题,常需要确定动点的轨迹,再根据“两点之间,线段最短”或者“垂线段最短”进行判断。
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