本题选自2022年广西柳州中考数学填空压轴题,难度中等。以瓜豆模型为基础,考查动点产生的轨迹,进而求几何最值。是近些年的热点,值得研究。
【题目】
(2022·柳州)如图,在正方形ABCD中,AB=4,G是BC的中点,点E是正方形内一个动点,且EG=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接CF,则线段CF长的最小值为 .
点G为定点,EG定长,那么可以得到点E个轨迹为圆弧。而点F为点E绕定点D产生的,轨迹也为圆弧。由于DE=DF,那么可以得到点E的轨迹与点F的轨迹是全等的。先确定起点、中间点与终点,那么就可以得到轨迹的形状、大小与位置了。
通过观察,其实就是相当于将半圆BC旋转90°得到的图形。当且仅当点C、F、O三点共线时取得最大值为2√5-2。
当然,有了上面的分析,其实发现点G与点O均为圆心,且它们的位置是不变的。根据旋转,可以确定一对全等。将DE旋转的同时得到△DFO≌△DEG,可以发现点O是固定的,当CF变化时,OF与OC始终保持不变。当且仅当点C、F、O三点共线时取得最大值为2√5-2。
动点轨迹问题无非就是圆弧或线段,取起点、中间点与终点,即可判断轨迹的形状,进而求得结论。
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