2022河南中考数学压轴题分析：折叠30°角

本题选自2022年河南省中考数学压轴题，以矩形与正方形为背景，考查折叠产生的有关问题，题目中涉及折叠出特殊角，如30°、45°和60°等，题目曾在其它区域出现过。原素材来自人教版八年级下册平行四边形那一章P63页中的阅读材料。教材中的素材往往是中考命题的材料来源。

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【题目】

（2022·河南）综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角：　　．

（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图2，当点在上时，　　，　　；

②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．

（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．

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【分析】

（1）图中有较多角度为30°，只需或或或任选一个即可。

如上图所示，可以得到EF垂直平分AB，所以可以得到AM=BM=AB，进而得到红色的三角形△ABM为等边三角形，根据这个来推导即可。

（2）①中两个都是15°，②中的结论为它们相等。解法主要是根据全等来证明即可。

如上图，根据HL可以证明两个三角形全等。

（3）本题其实就是一个正方形的半角模型。如下图所示，把已知条件进行标注。

那么就可以设AP=x，代入到图中。

在Rt△DPQ中，根据勾股定理可以列式得到结论。

根据勾股定理得，
则，
解得。

当然，本题的难点在于分类讨论，当点Q在点F的上方时，仍然有一种情况。

根据勾股定理，得，
则，
解得。

综上所述，的长为或。

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【总结】

折叠是中考常考的内容之一，常常结合勾股定理，轨迹问题与最值等进行考查。

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